与えられた20個のデータ $\{3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 12\}$ について、平均値、中央値、最頻値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲、四分位偏差、分散を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた20個のデータ $\{3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 12\}$ について、平均値、中央値、最頻値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲、四分位偏差、分散を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、データが小さい順に並んでいることを確認します。今回はすでに並んでいます。

(1) 平均値：データの総和をデータの個数で割ります。

データの総和は $3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 + 9 + 10 + 10 + 12 + 12 = 140$ です。

平均値 $= \frac{140}{20} = 7$

(2) 中央値：データの中央の値です。データの個数が偶数なので、10番目と11番目の値の平均を取ります。

10番目の値は6、11番目の値は6なので、中央値 $= \frac{6+6}{2} = 6$

(3) 最頻値：最も多く現れる値です。

6が5回現れ、最も多いので、最頻値 = 6

(4) 第1四分位数：データの下位25%に当たる値です。

データの個数が20なので、下から5番目と6番目の値の間になります。具体的には、$(20+1) \times 0.25 = 5.25$ 番目の値を探します。つまり、5番目の値に0.25を掛けて6番目の値に0.75を掛けたものを足せばよいです。

5番目の値は4、6番目の値は5なので、第1四分位数$= 4 \times (1-0.25) + 5 \times 0.25 = 4 \times 0.75 + 5 \times 0.25 = 3 + 1.25 = 4.25$

(5) 第3四分位数：データの上位25%に当たる値です。

データの個数が20なので、上から5番目と6番目の値の間になります。具体的には、$(20+1) \times 0.75 = 15.75$ 番目の値を探します。つまり、15番目の値に0.25を掛けて16番目の値に0.75を掛けたものを足せばよいです。

15番目の値は9、16番目の値は9なので、第3四分位数$= 9 \times 0.25 + 9 \times 0.75 = 2.25 + 6.75 = 9$

(6) 四分位範囲：第3四分位数から第1四分位数を引いた値です。

四分位範囲 $= 9 - 4.25 = 4.75$

(7) 四分位偏差：四分位範囲を2で割った値です。

四分位偏差 $= \frac{4.75}{2} = 2.375$

(8) 分散：各データの値から平均値を引いた値の2乗を合計し、データの個数で割ったものです。

分散$= \frac{1}{20} \left[ (3-7)^2 + 4(4-7)^2 + (5-7)^2 + 5(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + 3(9-7)^2 + 2(10-7)^2 + 2(12-7)^2 \right]$

$= \frac{1}{20} \left[ 16 + 4(9) + 4 + 5(1) + 0 + 1 + 3(4) + 2(9) + 2(25) \right]$

$= \frac{1}{20} \left[ 16 + 36 + 4 + 5 + 0 + 1 + 12 + 18 + 50 \right]$

$= \frac{142}{20} = 7.1$

3. 最終的な答え

(1) 平均値: 7

(2) 中央値: 6

(3) 最頻値: 6

(4) 第1四分位数: 4.25

(5) 第3四分位数: 9

(6) 四分位範囲: 4.75

(7) 四分位偏差: 2.375

(8) 分散: 7.1