各問題について、個別に解き方の手順を説明します。
### 問題 1
(1) 曲線 C が原点 (0,0) から点 (0,1) に至る経路である場合: - x=0 なので、w(x,y)=1+αy は w(0,y)=1+αy となります。 - ds=dy なので、線積分は ∫01(1+αy)dy となります。 - この積分を計算します。
(2) 曲線 C が原点から点 (2,2) を通り点 (0,1) に至る経路である場合: - 経路を2つの部分に分けます。
- C1: 原点 (0,0) から点 (2,2) に至る経路。これは y=x で表されます。 - C2: 点 (2,2) から点 (0,1) に至る経路。これは y=−21x+3 で表されます。 - 各経路について線積分を計算し、それらを足し合わせます。
- C1 について: ds=1+(dxdy)2dx=2dx なので、積分は ∫02(1+αx)2dx となります。 - C2 について: ds=1+(dxdy)2dx=1+41dx=25dx なので、積分は ∫20(1+α(−21x+3))25dx となります。 - 2つの積分の結果を足し合わせます。
### 問題 2
(1) 曲線 C が原点、点 (1,0)、点 (1,2) を結ぶ線分である場合: - 経路を2つの部分に分けます。
- C1: 原点 (0,0) から点 (1,0) に至る経路。これは y=0 で表されます。 - C2: 点 (1,0) から点 (1,2) に至る経路。これは x=1 で表されます。 - 各経路について線積分を計算し、それらを足し合わせます。
- C1 について: y=0 なので、積分は ∫01x(1+0)dx=∫01xdx となります。 - C2 について: x=1 なので、ds=dy であり、積分は ∫021(1+y)dy=∫02(1+y)dy となります。 - 2つの積分の結果を足し合わせます。
(2) 曲線 C が原点と点 (1,2) を結ぶ線分である場合: - y=2x なので、ds=1+(dxdy)2dx=1+4dx=5dx となります。 - 積分は ∫01x(1+2x)5dx=5∫01(x+2x2)dx となります。 - この積分を計算します。
### 問題 3
曲線 C が点 (0,0,2) と点 (1,2,3) を結ぶ経路である場合: 直線なので、パラメータ表示を考えます。
r(t)=(0,0,2)+t((1,2,3)−(0,0,2))=(t,2t,2+t) (ただし 0≤t≤1) x=t, y=2t, z=2+t r′(t)=(1,2,1) ∣∣r′(t)∣∣=12+22+12=6 ds=∣∣r′(t)∣∣dt=6dt ∫C(y2x+z)ds=∫01(2t2t+2+t)6dt=6∫01(1+2+t)dt=6∫01(3+t)dt=6[3t+2t2]01=6(3+21)=276 ##