曲線 $y = \cos 2x$ $(0 < x < \frac{\pi}{2})$ 上の点 $P(t, \cos 2t)$ における法線について、その $y$ 切片を $f(t)$ とするとき、$f(t)$ および $\lim_{t \to +0} f(t)$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos 2x$ $(0 < x < \frac{\pi}{2})$ 上の点 $P(t, \cos 2t)$ における法線について、その $y$ 切片を $f(t)$ とするとき、$f(t)$ および $\lim_{t \to +0} f(t)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = \cos 2x$ を微分して、導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = -2\sin 2x$

点 $P(t, \cos 2t)$ における接線の傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{x=t} = -2\sin 2t$

法線は接線と直交するので、法線の傾き $m$ は、

$m = \frac{1}{2\sin 2t}$

点 $P(t, \cos 2t)$ を通り、傾き $m = \frac{1}{2\sin 2t}$ の直線の方程式は、

$y - \cos 2t = \frac{1}{2\sin 2t} (x - t)$

$y$ 切片は $x = 0$ のときの $y$ の値なので、$x=0$ を代入すると、

$y = \cos 2t - \frac{t}{2\sin 2t}$

したがって、$f(t) = \cos 2t - \frac{t}{2\sin 2t}$

次に、$\lim_{t \to +0} f(t)$ を求める。

$\lim_{t \to +0} f(t) = \lim_{t \to +0} \left(\cos 2t - \frac{t}{2\sin 2t}\right)$

$\lim_{t \to +0} \cos 2t = 1$ であり、$\lim_{t \to +0} \frac{\sin 2t}{2t} = 1$ であるから、$\lim_{t \to +0} \frac{2t}{\sin 2t} = 2 \cdot \lim_{t \to +0} \frac{t}{\sin 2t} = 2 \cdot 1 = 1$ なので、$\lim_{t \to +0} \frac{t}{2\sin 2t} = \frac{1}{2}$

$\lim_{t \to +0} f(t) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$f(t) = \cos 2t - \frac{t}{2\sin 2t}$

$\lim_{t \to +0} f(t) = \frac{1}{2}$