(1) 3つの奇数の和が奇数になることを説明する。 (2) 2桁の自然数 $P$ と、$P$ の十の位と一の位を入れ替えてできる自然数 $Q$ について、$7P + 2Q$ が9の倍数になることを説明する。 (3) 高さが底面の半径の6倍である円錐と、底面の半径が円錐の底面の半径の2倍で、高さが円錐の底面の半径と等しい円柱について、円錐の体積を $V$、円柱の体積を $W$ とするとき、$W = 2V$ であることを説明する。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

(1) 3つの奇数の和が奇数になることを説明する。

(2) 2桁の自然数 $P$ と、$P$ の十の位と一の位を入れ替えてできる自然数 $Q$ について、$7P + 2Q$ が9の倍数になることを説明する。

(3) 高さが底面の半径の6倍である円錐と、底面の半径が円錐の底面の半径の2倍で、高さが円錐の底面の半径と等しい円柱について、円錐の体積を $V$、円柱の体積を $W$ とするとき、$W = 2V$ であることを説明する。

2. 解き方の手順

(1)

* 整数 $l$, $m$, $n$ を用いて、3つの奇数を $2l+1$, $2m+1$, $2n+1$ と表す。

* 3つの奇数の和は、 $(2l+1) + (2m+1) + (2n+1) = 2l + 2m + 2n + 3 = 2(l+m+n+1) + 1$ となる。

* $l+m+n+1$ は整数であるから、$2(l+m+n+1) + 1$ は奇数である。

* したがって、3つの奇数の和は奇数になる。

(2)

* 自然数 $P$ の十の位の数を $a$、一の位の数を $b$ とすると、$P = 10a + b$ と表せる。

* $P$ の十の位と一の位を入れ替えてできる自然数 $Q$ は、$Q = 10b + a$ と表せる。

* $7P + 2Q = 7(10a + b) + 2(10b + a) = 70a + 7b + 20b + 2a = 72a + 27b = 9(8a + 3b)$ となる。

* $8a + 3b$ は整数であるから、$9(8a + 3b)$ は9の倍数である。

* したがって、$7P + 2Q$ は9の倍数になる。

(3)

* 円錐の底面の半径を $r$ とすると、円錐の高さは $6r$ である。

* 円錐の体積 $V$ は、$V = \frac{1}{3} \pi r^2 (6r) = 2 \pi r^3$ となる。

* 円柱の底面の半径は $2r$、高さは $r$ である。

* 円柱の体積 $W$ は、$W = \pi (2r)^2 r = 4 \pi r^3$ となる。

* したがって、$W = 4 \pi r^3 = 2(2 \pi r^3) = 2V$ である。

3. 最終的な答え

(1) 3つの奇数の和は奇数になる。

(2) $7P + 2Q$ は9の倍数になる。

(3) $W = 2V$ である。