関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ について、$y = f(x)$ のグラフは $x = 0$ において接線 $y = -4x + 5$ をもち、$x = 1$ において接線 $y = -4x + 4$ をもつ。このとき、$f(x)$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解法の手順と最終的な答えを以下に示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ について、$y = f(x)$ のグラフは $x = 0$ において接線 $y = -4x + 5$ をもち、$x = 1$ において接線 $y = -4x + 4$ をもつ。このとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ を微分します。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$x = 0$ における接線が $y = -4x + 5$ であることから、次の2つの条件が得られます。

* $f(0) = 5$

* $f'(0) = -4$

これらの条件を $f(x)$ と $f'(x)$ に代入すると、

$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d = 5$

$f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c = -4$

次に、$x = 1$ における接線が $y = -4x + 4$ であることから、次の2つの条件が得られます。

* $f(1) = -4(1) + 4 = 0$

* $f'(1) = -4$

これらの条件を $f(x)$ と $f'(x)$ に代入すると、

$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d = a + b - 4 + 5 = a + b + 1 = 0$

$f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 3a + 2b + c = 3a + 2b - 4 = -4$

上記の条件から、次の連立方程式が得られます。

$a + b + 1 = 0$

$3a + 2b - 4 = -4$

これを整理すると、

$a + b = -1$

$3a + 2b = 0$

1つ目の式を2倍して、$2a + 2b = -2$。

2つ目の式からこの式を引くと、$a = 2$。

$a = 2$ を $a + b = -1$ に代入すると、$2 + b = -1$ より $b = -3$。

これで、$a, b, c, d$ の値がすべて求まりました。

$a = 2, b = -3, c = -4, d = 5$

したがって、$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4x + 5$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4x + 5$