(1) $y = x^2 + 2x - 35$ のグラフを描き、$x^2 + 2x - 35 < 0$ の解を求めます。 (2) $y = x^2 - 4x - 12$ のグラフを描き、$x^2 - 4x - 12 > 0$ の解を求めます。 (3) $y = x^3 - 12x - 20$ のグラフを描き、$x^3 - 12x - 20 = 0$ の解の個数を求めます。

1. 問題の内容

(1) $y = x^2 + 2x - 35$ のグラフを描き、$x^2 + 2x - 35 < 0$ の解を求めます。

(2) $y = x^2 - 4x - 12$ のグラフを描き、$x^2 - 4x - 12 > 0$ の解を求めます。

(3) $y = x^3 - 12x - 20$ のグラフを描き、$x^3 - 12x - 20 = 0$ の解の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + 2x - 35 = 0$ を解きます。

因数分解すると、$(x + 7)(x - 5) = 0$ となり、$x = -7, 5$ が解となります。

$y = x^2 + 2x - 35$ のグラフは下に凸の放物線であり、$x^2 + 2x - 35 < 0$ となるのは、$x$ が $-7$ と $5$ の間にあるときです。

(2)

まず、$x^2 - 4x - 12 = 0$ を解きます。

因数分解すると、$(x - 6)(x + 2) = 0$ となり、$x = 6, -2$ が解となります。

$y = x^2 - 4x - 12$ のグラフは下に凸の放物線であり、$x^2 - 4x - 12 > 0$ となるのは、$x < -2$ または $x > 6$ のときです。

(3)

$f(x) = x^3 - 12x - 20$ とします。

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$ です。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 2, -2$ のときです。

$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) - 20 = -8 + 24 - 20 = -4$

$f(2) = (2)^3 - 12(2) - 20 = 8 - 24 - 20 = -36$

$x = -2$ のとき極大値 $-4$ をとり、$x = 2$ のとき極小値 $-36$ をとります。

$f(5) = 5^3 - 12(5) - 20 = 125 - 60 - 20 = 45$

$f(4) = 4^3 - 12(4) - 20 = 64 - 48 - 20 = -4$

グラフは $x$ 軸と1回だけ交わるので、$x^3 - 12x - 20 = 0$ の解の個数は1個です。

$f(x)$ が $x=5$ で正の値を取るので、$2 < x < 5$ に解が存在します。

(または、$x \approx 4.29$ です)

3. 最終的な答え

(1) $-7 < x < 5$

(2) $x < -2$ または $x > 6$

(3) 1個