以下の連立一次方程式が解を持つための $a$ の条件を求めよ。 $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix}$

はい、承知いたしました。数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式が解を持つための $a$ の条件を求めよ。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

連立一次方程式が解を持つための条件は、係数行列のランクと拡大係数行列のランクが一致することです。係数行列を$A$、拡大係数行列を$(A|b)$とすると、$\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)$ が必要十分条件となります。

まず、拡大係数行列を書き下します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 2 & -2 & a & 5 \end{bmatrix}$

次に、この行列を簡約化します。

2行目から1行目を引きます。

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & a-2 & 1 \end{bmatrix}$

この行列が解を持つためには、3行目が $0x_1 + 0x_2 + (a-2)x_3 = 1$ となる必要があるため、$a-2 \neq 0$ であれば解を持つことが保証されます。

しかし、$a-2=0$ のとき、つまり $a=2$ のとき、この方程式は $0=1$ となり、解を持ちません。

もし $a \neq 2$ であれば、 $x_3 = \frac{1}{a-2}$ となり、$x_2$ と $x_1$ も一意に定まります。

3. 最終的な答え

$a \neq 2$