0, 1, 2, 3, 4 の5個の数字を使って、異なる数字からなる4桁の整数を作る。 (1) 全部で何個の整数が作れるか。 (2) 偶数は何個作れるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4 の5個の数字を使って、異なる数字からなる4桁の整数を作る。

(1) 全部で何個の整数が作れるか。

(2) 偶数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数を作る場合、千の位に0は置けないことに注意する。

* 千の位の選び方は、0以外の4通り。

* 百の位の選び方は、千の位で使った数字以外の4通り。

* 十の位の選び方は、千の位と百の位で使った数字以外の3通り。

* 一の位の選び方は、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の2通り。

よって、作れる整数の個数は、

$4 \times 4 \times 3 \times 2$

(2) 偶数を作る場合、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要がある。場合分けして考える。

* 一の位が0の場合：

* 一の位の選び方は1通り(0)。

* 千の位の選び方は、0以外の4通り。

* 百の位の選び方は、千の位と一の位で使った数字以外の3通り。

* 十の位の選び方は、千の位、百の位、一の位で使った数字以外の2通り。

よって、$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

* 一の位が2または4の場合：

* 一の位の選び方は2通り。

* 千の位の選び方は、0と一の位で使った数字以外の3通り。

* 百の位の選び方は、千の位と一の位で使った数字以外の3通り。

* 十の位の選び方は、千の位、百の位、一の位で使った数字以外の2通り。

よって、$3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36$通り。

したがって、作れる偶数の個数は、$24+36$

3. 最終的な答え

(1) 96個

(2) 60個