問題は、三角関数の恒等式 $1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ を利用して、$\cos^2{\theta}$ が与えられた場合に、$1 + \tan^2{\theta}$ の値を求める問題です。具体的には、$\cos^2{\theta} = \frac{64}{27}$ の逆数として、$1 + \tan^2{\theta}$ の値を計算します。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の恒等式 $1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ を利用して、$\cos^2{\theta}$ が与えられた場合に、$1 + \tan^2{\theta}$ の値を求める問題です。具体的には、$\cos^2{\theta} = \frac{64}{27}$ の逆数として、$1 + \tan^2{\theta}$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ という恒等式を思い出します。

$\cos^2{\theta}$ の値が $\frac{64}{27}$ であると与えられているので、$\frac{1}{\cos^2{\theta}}$ を計算します。

$\frac{1}{\cos^2{\theta}} = \frac{1}{\frac{64}{27}}$

分数の逆数をとるので、

$\frac{1}{\cos^2{\theta}} = \frac{27}{64}$

したがって、$1 + \tan^2{\theta}$ の値は $\frac{27}{64}$ になります。

3. 最終的な答え

$1 + \tan^2{\theta} = \frac{27}{64}$