次の4つの微分方程式の一般解を求めよ。 (1) $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ (2) $\ddot{x} + \omega_0^2 x = \cos \omega t \quad (\omega \neq \omega_0)$ (3) $\ddot{x} + \omega^2 x = \cos \omega t$ (4) $\ddot{x} + 6\dot{x} + 13x = 0$

1. 問題の内容

次の4つの微分方程式の一般解を求めよ。

(1) $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$

(2) $\ddot{x} + \omega_0^2 x = \cos \omega t \quad (\omega \neq \omega_0)$

(3) $\ddot{x} + \omega^2 x = \cos \omega t$

(4) $\ddot{x} + 6\dot{x} + 13x = 0$

2. 解き方の手順

(1) $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$

特性方程式は $r^2 + \omega_0^2 = 0$。

$r = \pm i\omega_0$ より、一般解は

$x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t)$

(2) $\ddot{x} + \omega_0^2 x = \cos \omega t \quad (\omega \neq \omega_0)$

同次方程式の解は(1)と同様に

$x_h(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t)$

特殊解を $x_p(t) = A \cos(\omega t)$ と仮定する。

$\dot{x}_p(t) = -A\omega \sin(\omega t)$

$\ddot{x}_p(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t)$

$\ddot{x}_p + \omega_0^2 x_p = -A\omega^2 \cos(\omega t) + A\omega_0^2 \cos(\omega t) = \cos(\omega t)$

$A(\omega_0^2 - \omega^2) = 1$

$A = \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2}$

よって特殊解は $x_p(t) = \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos(\omega t)$

一般解は $x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t) + \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos(\omega t)$

(3) $\ddot{x} + \omega^2 x = \cos \omega t$

同次方程式の解は $x_h(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)$

特殊解を $x_p(t) = At \sin(\omega t)$ と仮定する。

$\dot{x}_p(t) = A\sin(\omega t) + A\omega t \cos(\omega t)$

$\ddot{x}_p(t) = A\omega \cos(\omega t) + A\omega \cos(\omega t) - A\omega^2 t \sin(\omega t) = 2A\omega \cos(\omega t) - A\omega^2 t \sin(\omega t)$

$\ddot{x}_p + \omega^2 x_p = 2A\omega \cos(\omega t) - A\omega^2 t \sin(\omega t) + \omega^2 A t \sin(\omega t) = 2A\omega \cos(\omega t) = \cos(\omega t)$

$2A\omega = 1$

$A = \frac{1}{2\omega}$

よって特殊解は $x_p(t) = \frac{1}{2\omega} t \sin(\omega t)$

一般解は $x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t) + \frac{1}{2\omega} t \sin(\omega t)$

(4) $\ddot{x} + 6\dot{x} + 13x = 0$

特性方程式は $r^2 + 6r + 13 = 0$。

$r = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2i$

一般解は $x(t) = e^{-3t}(C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t))$

3. 最終的な答え

(1) $x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t)$

(2) $x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t) + \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos(\omega t)$

(3) $x(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t) + \frac{1}{2\omega} t \sin(\omega t)$

(4) $x(t) = e^{-3t}(C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t))$