与えられた領域 $D$ 上の2重積分を計算します。3つの問題があります。 (1) $\iint_D xy \, dxdy$, $D = \{(x,y); a \le x \le b, c \le y \le d\}$ (2) $\iint_D xy^2 \, dxdy$, $D = \{(x,y); 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \sqrt{1-x^2}\}$ (3) $\iint_D y \, dxdy$, $D = \{(x,y); y^2 \le x \le y+2\}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた領域 $D$ 上の2重積分を計算します。3つの問題があります。

(1) $\iint_D xy \, dxdy$, $D = \{(x,y); a \le x \le b, c \le y \le d\}$

(2) $\iint_D xy^2 \, dxdy$, $D = \{(x,y); 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \sqrt{1-x^2}\}$

(3) $\iint_D y \, dxdy$, $D = \{(x,y); y^2 \le x \le y+2\}$

2. 解き方の手順

(1)

$D$ は長方形の領域なので、積分は簡単に計算できます。

$$\iint_D xy \, dxdy = \int_a^b \int_c^d xy \, dy dx = \int_a^b x \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_c^d dx = \int_a^b x \left( \frac{1}{2} d^2 - \frac{1}{2} c^2 \right) dx$$

$$= \frac{1}{2} (d^2 - c^2) \int_a^b x \, dx = \frac{1}{2} (d^2 - c^2) \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_a^b = \frac{1}{4} (d^2 - c^2)(b^2 - a^2)$$

(2)

$D$ は円の一部です。積分範囲は $0 \le x \le 1$ と $0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ です。

$$\iint_D xy^2 \, dxdy = \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy^2 \, dy dx = \int_0^1 x \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_0^{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^1 x \frac{1}{3} (1-x^2)^{3/2} dx$$

$u = 1 - x^2$ と置くと、$du = -2x \, dx$ より $x \, dx = -\frac{1}{2} du$。

$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=0$。

$$= \frac{1}{3} \int_1^0 u^{3/2} \left( -\frac{1}{2} \right) du = \frac{1}{6} \int_0^1 u^{3/2} du = \frac{1}{6} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_0^1 = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{15}$$

(3)

$D$ の積分範囲は $y^2 \le x \le y+2$。$y^2 = y+2$ を解くと、$y^2 - y - 2 = 0$, $(y-2)(y+1)=0$ より $y=-1, 2$。

$$\iint_D y \, dxdy = \int_{-1}^2 \int_{y^2}^{y+2} y \, dx dy = \int_{-1}^2 y \left[ x \right]_{y^2}^{y+2} dy = \int_{-1}^2 y (y+2 - y^2) dy = \int_{-1}^2 (y^2 + 2y - y^3) dy$$

$$= \left[ \frac{1}{3} y^3 + y^2 - \frac{1}{4} y^4 \right]_{-1}^2 = \left( \frac{8}{3} + 4 - \frac{16}{4} \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{8}{3} + 4 - 4 + \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{4} = \frac{9}{3} - 1 + \frac{1}{4} = 3 - 1 + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}(b^2 - a^2)(d^2 - c^2)$

(2) $\frac{1}{15}$

(3) $\frac{9}{4}$