関数 $f(x) = x^3$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ について、点 $(2, 8)$ における曲線 $C$ の接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ について、点 $(2, 8)$ における曲線 $C$ の接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x^3$ より、

$f'(x) = 3x^2$

次に、$x=2$ における $f'(x)$ の値を計算し、接線の傾きを求めます。

$f'(2) = 3(2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$

したがって、接線の傾きは12です。

点 $(2, 8)$ を通り、傾きが12の直線の方程式を求めます。直線の方程式は一般的に $y = mx + b$ の形で表され、ここでは $m = 12$ です。

$(2, 8)$ を通るので、$8 = 12 \cdot 2 + b$ が成り立ちます。

$8 = 24 + b$

$b = 8 - 24 = -16$

したがって、接線の方程式は $y = 12x - 16$ です。

3. 最終的な答え

$y = 12x - 16$