関数 $f(x) = x^3$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 点 (2, 8) における曲線 $C$ の接線の方程式を求めます。 (2) 点 $(t, f(t))$ における曲線 $C$ の接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 点 (2, 8) における曲線 $C$ の接線の方程式を求めます。

(2) 点 $(t, f(t))$ における曲線 $C$ の接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2$

点 (2, 8) における接線の傾きは、$f'(2)$ です。

$f'(2) = 3(2)^2 = 3(4) = 12$

接線の傾きは12です。

接線の方程式は、傾きが $m$ で点 $(x_1, y_1)$ を通る場合、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。

したがって、点 (2, 8) を通り、傾きが 12 の接線の方程式は次のようになります。

$y - 8 = 12(x - 2)$

$y - 8 = 12x - 24$

$y = 12x - 16$

(2)

点 $(t, f(t))$ における接線の傾きは、$f'(t)$ です。

$f'(t) = 3t^2$

接線の方程式は、傾きが $m$ で点 $(x_1, y_1)$ を通る場合、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。

点 $(t, f(t)) = (t, t^3)$ を通り、傾きが $3t^2$ の接線の方程式は次のようになります。

$y - t^3 = 3t^2(x - t)$

$y - t^3 = 3t^2x - 3t^3$

$y = 3t^2x - 2t^3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 12x - 16$

(2) $y = 3t^2x - 2t^3$