次の累次積分の順序を交換し、その値を求めよ。 $\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} x^2 y dx$

## 問7 (1)

1. 問題の内容

次の累次積分の順序を交換し、その値を求めよ。

$\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} x^2 y dx$

2. 解き方の手順

まず、積分領域を把握します。

$y$ の積分範囲は $0 \leq y \leq 1$、 $x$ の積分範囲は $y \leq x \leq 1$ です。

これを $xy$ 平面に図示すると、$x = y, x = 1, y = 0$ で囲まれた領域になります。

次に、積分順序を交換します。 $x$ を先に積分するため、$x$ の範囲を $0 \leq x \leq 1$ とします。

$y$ の範囲は、$0 \leq y \leq x$ となります。

したがって、積分の順序を交換すると次のようになります。

$\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} x^2 y dy$

次に、積分を計算します。

まず、$y$ について積分します。

$\int_{0}^{x} x^2 y dy = x^2 \int_{0}^{x} y dy = x^2 [\frac{1}{2}y^2]_{0}^{x} = x^2 (\frac{1}{2}x^2 - 0) = \frac{1}{2} x^4$

次に、$x$ について積分します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{2} x^4 dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^4 dx = \frac{1}{2} [\frac{1}{5} x^5]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} - 0) = \frac{1}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{10}$