(A) 関数 $y = x + \frac{1}{x^2}$ のグラフの概形を描く。 (B) 関数 $y = \frac{x-3}{(x+1)(x-2)}$ の増減を調べ、極値を求め、グラフを描く。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。

1. 問題の内容

(A) 関数 $y = x + \frac{1}{x^2}$ のグラフの概形を描く。

(B) 関数 $y = \frac{x-3}{(x+1)(x-2)}$ の増減を調べ、極値を求め、グラフを描く。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。

2. 解き方の手順

(A)

1. 定義域を調べる。$x \neq 0$ である。

2. $y'$ を計算する。

$y' = 1 - \frac{2}{x^3} = \frac{x^3-2}{x^3}$

3. $y'=0$ となる $x$ を求める。$x^3 = 2$ より $x = \sqrt[3]{2}$

4. 増減表を作成する。

| x | ... | 0 | ... | $\sqrt[3]{2}$ | ... |

| :--- | :------- | :------- | :--------- | :----------- | :------ |

| y' | - | | - | 0 | + |

| y | $\searrow$ | $\infty$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ |

5. 極値を求める。$x = \sqrt[3]{2}$ のとき $y = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2} = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{2} + \frac{\sqrt[3]{2}}{2} = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2}$

6. 漸近線を求める。$x \to \pm\infty$ で $y \to x$ なので $y=x$ は漸近線。$x \to 0$ で $y \to \infty$ なので $x=0$ は漸近線。

(B)

1. 定義域を調べる。$x \neq -1, x \neq 2$ である。

2. $y'$ を計算する。

$y' = \frac{(x+1)(x-2) - (x-3)(2x-1)}{(x+1)^2(x-2)^2} = \frac{x^2 - x - 2 - (2x^2 - 7x + 3)}{(x+1)^2(x-2)^2} = \frac{-x^2 + 6x - 5}{(x+1)^2(x-2)^2} = \frac{-(x-1)(x-5)}{(x+1)^2(x-2)^2}$

3. $y'=0$ となる $x$ を求める。$x = 1, 5$

4. 増減表を作成する。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... | 2 | ... | 5 | ... |

| :--- | :------ | :------ | :------ | :----- | :------- | :------ | :------ | :----- | :------ |

| y' | - | | - | 0 | + | | + | 0 | - |

| y | $\searrow$ | $\infty$| $\searrow$ | 2 | $\nearrow$ | $\infty$| $\nearrow$ | -1/9 | $\searrow$ |

5. 極値を求める。$x = 1$ のとき $y = \frac{1-3}{(1+1)(1-2)} = \frac{-2}{-2} = 1$。$x = 5$ のとき $y = \frac{5-3}{(5+1)(5-2)} = \frac{2}{6 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

6. 漸近線を求める。$x \to \pm\infty$ で $y \to 0$ なので $y=0$ は漸近線。$x \to -1$ で $y \to \infty$ なので $x=-1$ は漸近線。$x \to 2$ で $y \to \infty$ なので $x=2$ は漸近線。

3. 最終的な答え

(A) グラフの概形: 詳細は省略（増減表と漸近線からグラフを描ける）

極小値: $x = \sqrt[3]{2}$ のとき $y = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2}$

(B) グラフの概形: 詳細は省略（増減表と漸近線からグラフを描ける）

極大値: $x = 1$ のとき $y = 1$

極小値: $x = 5$ のとき $y = 1/9$