与えられた累次積分の積分順序を交換する問題です。具体的には、以下の３つの積分に対して、積分順序を交換します。 (1) $\int_{0}^{4} dy \int_{\sqrt{y}}^{2} f(x,y) dx$ (2) $\int_{2}^{3} dx \int_{1}^{x^2} f(x,y) dy$ (3) $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} f(x,y) dy + \int_{1}^{2} dx \int_{0}^{2-x} f(x,y) dy$

1. 問題の内容

与えられた累次積分の積分順序を交換する問題です。具体的には、以下の３つの積分に対して、積分順序を交換します。

(1) $\int_{0}^{4} dy \int_{\sqrt{y}}^{2} f(x,y) dx$

(2) $\int_{2}^{3} dx \int_{1}^{x^2} f(x,y) dy$

(3) $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} f(x,y) dy + \int_{1}^{2} dx \int_{0}^{2-x} f(x,y) dy$

2. 解き方の手順

積分順序を交換するには、まず積分範囲を図示し、その領域を $x$ について積分するか、$y$ について積分するかを入れ替えます。

(1)

元の積分範囲は $0 \le y \le 4$、$\sqrt{y} \le x \le 2$ です。これは、$x^2 \le y \le 4$、$0 \le x \le 2$ と書き換えられます。よって、積分順序を交換すると、

$\int_{0}^{2} dx \int_{x^2}^{4} f(x,y) dy$

となります。

(2)

元の積分範囲は $2 \le x \le 3$、$1 \le y \le x^2$ です。

$y = x^2$ より、$x = \sqrt{y}$ なので、$1 \le y \le 9$ となります。

$2 \le x \le 3$ と $1 \le y \le x^2$ から、$2 \le x \le \sqrt{y}$ かつ $\sqrt{y} \le 3$。または、$\sqrt{y} \le x \le 3$ かつ $2 \le \sqrt{y}$

$y$ で積分範囲を分割する必要があります。

$1 \le y \le 4$ では、$2 \le x \le 3$ は意味を持たないので、$y=1$ から $y=4$ までは、$2 \le x \le 3$ を満たしません。

$1 \le y \le 4$ のとき、$2 \le x \le 3$ なので、$\int_{1}^{4} dy \int_{2}^{3} f(x,y) dx$ ではありません。

$1 \le y \le 4$ のとき、$x$ の範囲は定義されません。

$4 \le y \le 9$ のとき、$x$ の範囲は $\sqrt{y} \le x \le 3$ となります。

$1 \le y \le 4$ のとき、$2 \le x \le 3$ です。よって、$x$ の範囲は $2 \le x \le 3$ です。

$4 \le y \le 9$ のとき、$\sqrt{y} \le x \le 3$ です。よって、$x$ の範囲は $\sqrt{y} \le x \le 3$ です。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{1}^{4} dy \int_{\sqrt{y}}^{3} f(x,y)dx + \int_{4}^{9} dy \int_{\sqrt{y}}^{3} f(x,y) dx = \int_{1}^{9} dy \int_{\sqrt{y}}^{3} f(x,y) dx$

積分範囲は $2 \le x \le 3$, $1 \le y \le x^2$

これは、$1 \le y \le 9$ を満たし、$y \le x^2$, つまり $\sqrt{y} \le x \le 3$

$1 \le y \le 4$ のとき、 $2 \le x \le 3$

$4 \le y \le 9$ のとき、 $\sqrt{y} \le x \le 3$

よって、$\int_{1}^{4} dy \int_{2}^{3} f(x,y) dx + \int_{4}^{9} dy \int_{\sqrt{y}}^{3} f(x,y) dx$

(3)

最初の積分範囲は $0 \le x \le 1$、$0 \le y \le x$ です。

次の積分範囲は $1 \le x \le 2$、$0 \le y \le 2-x$ です。

最初の積分範囲は $0 \le y \le x \le 1$ なので、$0 \le y \le 1$、$y \le x \le 1$ となります。

次の積分範囲は $1 \le x \le 2$、$0 \le y \le 2-x$ なので、$0 \le y \le 1$、$1 \le x \le 2-y$ となります。

よって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} f(x,y) dx + \int_{0}^{1} dy \int_{1}^{2-y} f(x,y) dx = \int_{0}^{1} dy \int_{y}^{2-y} f(x,y) dx$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{2} dx \int_{x^2}^{4} f(x,y) dy$

(2) $\int_{1}^{4} dy \int_{2}^{3} f(x,y) dx + \int_{4}^{9} dy \int_{\sqrt{y}}^{3} f(x,y) dx$

(3) $\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{2-y} f(x,y) dx$