次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{3x^2 - 4x - 4}$

解析学極限因数分解代数
2025/7/28

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
limx2x22x3x24x4\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{3x^2 - 4x - 4}

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を因数分解します。
分子は
x22x=x(x2)x^2 - 2x = x(x - 2)
と因数分解できます。
分母は
3x24x4=(3x+2)(x2)3x^2 - 4x - 4 = (3x + 2)(x - 2)
と因数分解できます。
したがって、
x22x3x24x4=x(x2)(3x+2)(x2)\frac{x^2 - 2x}{3x^2 - 4x - 4} = \frac{x(x - 2)}{(3x + 2)(x - 2)}
x2x \neq 2 のとき、 x20x - 2 \neq 0 なので、x2x - 2 で約分できます。
x(x2)(3x+2)(x2)=x3x+2\frac{x(x - 2)}{(3x + 2)(x - 2)} = \frac{x}{3x + 2}
したがって、
limx2x22x3x24x4=limx2x3x+2=232+2=26+2=28=14\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{3x^2 - 4x - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{x}{3x + 2} = \frac{2}{3 \cdot 2 + 2} = \frac{2}{6 + 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

3. 最終的な答え

14\frac{1}{4}