関数 $y=ax+b$ の定義域が $0 \leq x \leq 2$ であり、値域が $-2 \leq y \leq 4$ である。

1. 問題の内容

関数 $y=ax+b$ の定義域が $0 \leq x \leq 2$ であり、値域が $-2 \leq y \leq 4$ である。

2. 解き方の手順

一次関数 $y=ax+b$ のグラフは直線である。定義域が与えられているとき、値域はその定義域の端点における $y$ の値によって決まる。 $a$ の符号によって場合分けをする。

* $a>0$ のとき：$x$ が増加すると $y$ も増加する。したがって、$x=0$ のとき $y=-2$、$x=2$ のとき $y=4$ である。

$x=0$ を代入すると、$y = a(0) + b = b$ となり、$b = -2$ が得られる。

$x=2$ を代入すると、$y = a(2) + b = 2a + b$ となり、$2a + b = 4$ が得られる。

$b = -2$ を $2a + b = 4$ に代入すると、$2a - 2 = 4$ となり、$2a = 6$、したがって $a = 3$ が得られる。

このとき、$a=3>0$ の条件を満たす。

* $a<0$ のとき：$x$ が増加すると $y$ は減少する。したがって、$x=0$ のとき $y=4$、$x=2$ のとき $y=-2$ である。

$x=0$ を代入すると、$y = a(0) + b = b$ となり、$b = 4$ が得られる。

$x=2$ を代入すると、$y = a(2) + b = 2a + b$ となり、$2a + b = -2$ が得られる。

$b = 4$ を $2a + b = -2$ に代入すると、$2a + 4 = -2$ となり、$2a = -6$、したがって $a = -3$ が得られる。

このとき、$a=-3<0$ の条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a=3$, $b=-2$ または $a=-3$, $b=4$