一の位が3である2桁の正の整数がある。その十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる2桁の整数をつくる。元の2桁の整数を2倍した数と、入れ替えてできる2桁の整数の和は3で割り切れることを証明する。

1. 問題の内容

一の位が3である2桁の正の整数がある。その十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる2桁の整数をつくる。元の2桁の整数を2倍した数と、入れ替えてできる2桁の整数の和は3で割り切れることを証明する。

2. 解き方の手順

(ア) 十の位の数を $a$ とすると、元の2桁の整数は $10a + 3$ と表せる。

(イ) 入れ替えてできる2桁の整数は $10 \times 3 + a = 30 + a$ と表せる。

(ウ) 元の2桁の整数を2倍した数と、入れ替えてできる2桁の整数の和は、

$2(10a + 3) + (30 + a) = 20a + 6 + 30 + a = 21a + 36 = 3(7a + 12)$ となる。

(エ) $7a + 12$ は整数であるから、$3(7a + 12)$ は3で割り切れる。

3. 最終的な答え

(ア) $10a + 3$

(イ) $30 + a$

(ウ) $7a + 12$