与えられた積分 $\int \frac{dx}{1+\cos x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{dx}{1+\cos x}$

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

半角の公式 $\cos^2(\frac{x}{2}) = \frac{1 + \cos x}{2}$ を利用します。

この公式を変形すると、 $1 + \cos x = 2 \cos^2(\frac{x}{2})$ となります。

これを積分に代入します。

$\int \frac{dx}{1+\cos x} = \int \frac{dx}{2\cos^2(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{2})}$

ここで $\frac{1}{\cos^2 u} = \sec^2 u$ であることを利用します。

$\frac{1}{2} \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{x}{2}) dx$

$u = \frac{x}{2}$ と置換すると、$du = \frac{1}{2} dx$ となり、$dx = 2 du$ となります。

$\frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(u) \cdot 2 du = \int \sec^2(u) du$

$\int \sec^2(u) du = \tan(u) + C$

$u = \frac{x}{2}$ を元に戻します。

$\tan(u) + C = \tan(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$\tan(\frac{x}{2}) + C$