以下の5つの関数を微分し、導関数を求めます。 (1) $(x^3+2)^{10}$ (2) $\sqrt{\frac{x}{x+1}}$ (3) $\log |\cos x|$ (4) $\arctan(x^2)$ (5) $x^{\cos x}$

はい、承知いたしました。問題文に記載された関数を微分します。

1. 問題の内容

以下の5つの関数を微分し、導関数を求めます。

(1) $(x^3+2)^{10}$

(2) $\sqrt{\frac{x}{x+1}}$

(3) $\log |\cos x|$

(4) $\arctan(x^2)$

(5) $x^{\cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

合成関数の微分を行います。

$u = x^3 + 2$とおくと、与式は$u^{10}$となります。

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

$\frac{d}{du}(u^{10}) = 10u^9$

よって、

$\frac{d}{dx}(x^3+2)^{10} = \frac{d}{du}(u^{10}) \cdot \frac{du}{dx} = 10(x^3+2)^9 \cdot 3x^2 = 30x^2(x^3+2)^9$

(2)

合成関数と商の微分を行います。

$u = \frac{x}{x+1}$とおくと、与式は$\sqrt{u}$となります。

$\frac{du}{dx} = \frac{(x+1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$

$\frac{d}{du}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

よって、

$\frac{d}{dx}\sqrt{\frac{x}{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}} \cdot \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x+1}{x}} \cdot \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x+1)^{\frac{3}{2}}}$

(3)

合成関数の微分を行います。

$u = \cos x$とおくと、与式は$\log |u|$となります。

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

$\frac{d}{du} \log |u| = \frac{1}{u}$

よって、

$\frac{d}{dx}\log |\cos x| = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$

(4)

合成関数の微分を行います。

$u = x^2$とおくと、与式は$\arctan u$となります。

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{d}{du} \arctan u = \frac{1}{1+u^2}$

よって、

$\frac{d}{dx} \arctan(x^2) = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4}$

(5)

対数微分法を用います。

$y = x^{\cos x}$とおくと、$\log y = \cos x \cdot \log x$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot \log x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left(-\sin x \cdot \log x + \frac{\cos x}{x}\right) = x^{\cos x} \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \log x\right)$

3. 最終的な答え

(1) $30x^2(x^3+2)^9$

(2) $\frac{1}{2\sqrt{x}(x+1)^{\frac{3}{2}}}$

(3) $-\tan x$

(4) $\frac{2x}{1+x^4}$

(5) $x^{\cos x} \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \log x\right)$