関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ ($0 \le x \le 2$) の最小値 $m(a)$ を、$a$ の値で場合分けして求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ ($0 \le x \le 2$) の最小値 $m(a)$ を、$a$ の値で場合分けして求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 1 = (x - a)^2 + 1$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(a, 1)$ であり、$C$ の軸の方程式は $x = a$ です。

定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値 $m(a)$ を $a$ の値で場合分けして求めます。

(i) $a < 0$ のとき、定義域内で $f(x)$ は単調減少であるため、$x = 0$ で最小値をとります。

$m(a) = f(0) = 0^2 - 2a(0) + a^2 + 1 = a^2 + 1$

(ii) $0 \le a < 2$ のとき、頂点の $x$ 座標 $x = a$ が定義域 $0 \le x \le 2$ に含まれるため、$x = a$ で最小値をとります。

$m(a) = f(a) = (a - a)^2 + 1 = 1$

(iii) $a \ge 2$ のとき、定義域内で $f(x)$ は単調増加であるため、$x = 2$ で最小値をとります。

$m(a) = f(2) = 2^2 - 2a(2) + a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$

3. 最終的な答え

(i) $a < 0$ のとき、$m(a) = a^2 + 1$

(ii) $0 \le a < 2$ のとき、$m(a) = 1$

(iii) $a \ge 2$ のとき、$m(a) = a^2 - 4a + 5$