関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 1$（$0 \le x \le 2$）の最大値 $M(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ は関数 $f(x)$ のグラフであり、$C$ の頂点、軸の方程式、および $a$ の範囲によって $M(a)$ がどのように変化するかを求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 1$（$0 \le x \le 2$）の最大値 $M(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ は関数 $f(x)$ のグラフであり、$C$ の頂点、軸の方程式、および $a$ の範囲によって $M(a)$ がどのように変化するかを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x - a)^2 + 1$

これにより、放物線 $C$ の頂点は $(a, 1)$ であることがわかります。

放物線 $C$ の軸の方程式は $x = a$ です。

(i) $a < 1$ のとき：

区間 $0 \le x \le 2$ において、$x = 2$ のときに $f(x)$ は最大値を取ります。

$M(a) = f(2) = (2 - a)^2 + 1 = 4 - 4a + a^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$

(ii) $a \ge 1$ のとき：

区間 $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ の最大値は、$a$ の値によって変化します。

$1 \le a \le 2$ のとき、$x=0$で最大値を取ります。$M(a) = f(0) = (0-a)^2 + 1 = a^2+1$.

$a \gt 2$ のとき、$x=0$で最大値を取ります。$M(a) = f(0) = (0-a)^2 + 1 = a^2+1$.

問題では、$a \ge 1$ の場合だけを考えているため、$x=0$で最大値を取ります。$M(a) = f(0) = (0-a)^2 + 1 = a^2+1$

3. 最終的な答え

頂点は $(a, 1)$

軸の方程式は $x = a$

(i) $a < 1$ のとき、$M(a) = a^2 - 4a + 5$

(ii) $a \ge 1$ のとき、$M(a) = a^2 + 1$