与えられた数の平方根が自然数になるような最小の自然数 $n$ を求める問題です。具体的には、 (1) $\sqrt{132n}$ (2) $\sqrt{378n}$ が自然数になるような最小の自然数 $n$ をそれぞれ求めます。

算数平方根素因数分解整数の性質
2025/7/28

1. 問題の内容

与えられた数の平方根が自然数になるような最小の自然数 nn を求める問題です。具体的には、
(1) 132n\sqrt{132n}
(2) 378n\sqrt{378n}
が自然数になるような最小の自然数 nn をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 132n\sqrt{132n} が自然数になるような最小の nn を求める。
まず、132を素因数分解します。
132=2×66=2×2×33=22×3×11132 = 2 \times 66 = 2 \times 2 \times 33 = 2^2 \times 3 \times 11
したがって、132n=22×3×11×n\sqrt{132n} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 11 \times n}
132n\sqrt{132n} が自然数になるためには、根号の中身が平方数(ある整数の2乗)になる必要があります。222^2 はすでに平方数なので、残りの 3×113 \times 11 に何かを掛けて平方数にする必要があります。最小の nn3×113 \times 11 です。
n=3×11=33n = 3 \times 11 = 33
(2) 378n\sqrt{378n} が自然数になるような最小の nn を求める。
まず、378を素因数分解します。
378=2×189=2×3×63=2×3×3×21=2×3×3×3×7=2×33×7378 = 2 \times 189 = 2 \times 3 \times 63 = 2 \times 3 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^3 \times 7
したがって、378n=2×33×7×n\sqrt{378n} = \sqrt{2 \times 3^3 \times 7 \times n}
378n\sqrt{378n} が自然数になるためには、根号の中身が平方数になる必要があります。323^2はすでに平方数なので、残りの 2×3×72 \times 3 \times 7 に何かを掛けて平方数にする必要があります。最小の nn2×3×72 \times 3 \times 7 です。
n=2×3×7=42n = 2 \times 3 \times 7 = 42

3. 最終的な答え

(1) n=33n = 33
(2) n=42n = 42