$\sqrt{\frac{2352}{n}}$ が自然数となるような自然数 $n$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{2352}{n}}$ が自然数となるような自然数 $n$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2352を素因数分解します。

$2352 = 2^4 \times 3 \times 7^2$

よって、

$\sqrt{\frac{2352}{n}} = \sqrt{\frac{2^4 \times 3 \times 7^2}{n}}$

この値が自然数となるためには、根号の中身が平方数である必要があります。つまり、$\frac{2^4 \times 3 \times 7^2}{n}$ が平方数になる必要があります。

したがって、$n$ は $3k^2$ ($k$は自然数) の形になる必要があります。言い換えると、$n$で割った結果、残った素因数の指数がすべて偶数になるように、$n$を決める必要があります。

$n$ は $2^a \times 3^b \times 7^c$ の形をしていることになります。

$\frac{2^4 \times 3 \times 7^2}{2^a \times 3^b \times 7^c} = 2^{4-a} \times 3^{1-b} \times 7^{2-c}$

このとき、 $4-a$, $1-b$, $2-c$ が全て0以上かつ偶数でなくてはなりません。

$4-a$ が偶数となるのは、$a$ が 0, 2, 4 のときです。

$1-b$ が偶数となるのは、$b$ が 1 のときです。($1-b = 0$)

$2-c$ が偶数となるのは、$c$ が 0, 2 のときです。

したがって、 $n$ として考えられるのは、

$2^0 \times 3^1 \times 7^0 = 3$

$2^0 \times 3^1 \times 7^2 = 3 \times 49 = 147$

$2^2 \times 3^1 \times 7^0 = 4 \times 3 = 12$

$2^2 \times 3^1 \times 7^2 = 4 \times 3 \times 49 = 588$

$2^4 \times 3^1 \times 7^0 = 16 \times 3 = 48$

$2^4 \times 3^1 \times 7^2 = 16 \times 3 \times 49 = 2352$

したがって、

$\sqrt{\frac{2352}{3}} = \sqrt{784} = 28$

$\sqrt{\frac{2352}{12}} = \sqrt{196} = 14$

$\sqrt{\frac{2352}{48}} = \sqrt{49} = 7$

$\sqrt{\frac{2352}{147}} = \sqrt{16} = 4$

$\sqrt{\frac{2352}{588}} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{\frac{2352}{2352}} = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

$n = 3, 12, 48, 147, 588, 2352$