縦240cm、横312cmの長方形の床に、1辺の長さ$a$ cmの正方形のタイルを敷き詰めて、隙間がないようにしたい。タイルをできるだけ大きくするには、$a$の値をいくらにすればよいか。また、そのときタイルは何枚必要か。ただし、$a$は整数とする。

1. 問題の内容

縦240cm、横312cmの長方形の床に、1辺の長さ$a$ cmの正方形のタイルを敷き詰めて、隙間がないようにしたい。タイルをできるだけ大きくするには、$a$の値をいくらにすればよいか。また、そのときタイルは何枚必要か。ただし、$a$は整数とする。

2. 解き方の手順

タイルを隙間なく敷き詰めるためには、$a$は240と312の公約数である必要があります。

タイルをできるだけ大きくするためには、$a$は240と312の最大公約数である必要があります。

まず、240と312の最大公約数を求めます。

240 = $2^4 \times 3 \times 5$

312 = $2^3 \times 3 \times 13$

最大公約数は、$2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$

したがって、$a = 24$

次に、タイルの枚数を求めます。

縦方向に並ぶタイルの枚数は、$\frac{240}{24} = 10$枚

横方向に並ぶタイルの枚数は、$\frac{312}{24} = 13$枚

タイルの総数は、$10 \times 13 = 130$枚

3. 最終的な答え

$a = 24$

タイルの枚数 = 130枚