$\sqrt{14}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、次の問いに答える。 (1) $a$, $b$ の値を求める。 (2) $\frac{1}{b}$ の整数部分を $c$、小数部分を $d$ とするとき、$c$, $d$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{14}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、次の問いに答える。

(1) $a$, $b$ の値を求める。

(2) $\frac{1}{b}$ の整数部分を $c$、小数部分を $d$ とするとき、$c$, $d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sqrt{14}$ のおおよその値を考える。

$3^2 = 9 < 14 < 16 = 4^2$ なので、$3 < \sqrt{14} < 4$ である。

したがって、$\sqrt{14}$ の整数部分は $a = 3$ である。

小数部分 $b$ は $\sqrt{14}$ から整数部分を引いたものなので、$b = \sqrt{14} - a = \sqrt{14} - 3$ である。

(2)

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{14} - 3}$ を計算する。

分母の有理化を行う。

$\frac{1}{\sqrt{14} - 3} = \frac{\sqrt{14} + 3}{(\sqrt{14} - 3)(\sqrt{14} + 3)} = \frac{\sqrt{14} + 3}{14 - 9} = \frac{\sqrt{14} + 3}{5}$

ここで、$\sqrt{14}$ の範囲は $3 < \sqrt{14} < 4$ であるから、

$3 + 3 < \sqrt{14} + 3 < 4 + 3$ より $6 < \sqrt{14} + 3 < 7$ である。

$\frac{6}{5} < \frac{\sqrt{14} + 3}{5} < \frac{7}{5}$ より $1.2 < \frac{\sqrt{14} + 3}{5} < 1.4$ となる。

したがって、$\frac{1}{b}$ の整数部分 $c = 1$ である。

小数部分 $d$ は $\frac{1}{b}$ から整数部分を引いたものなので、$d = \frac{\sqrt{14} + 3}{5} - 1 = \frac{\sqrt{14} + 3 - 5}{5} = \frac{\sqrt{14} - 2}{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = \sqrt{14} - 3$

(2) $c = 1$, $d = \frac{\sqrt{14} - 2}{5}$