問題は以下の3つのパートに分かれています。 (1) 半径 $a$, 質量 $M$ の一様な半球の $x$ 軸周りの慣性モーメント $I_x$ を求める問題です。 (2) 質量 $M$, 長さ $a$ の一様な棒を、重心から距離 $h$ 離れた位置を固定軸として微小振動させたときの、 (a) 固定軸周りの慣性モーメント $I$ を求める問題です。 (b) 微小振動の周期 $T$ を求め、さらに $T$ を最小にする $h$ とそのときの $T$ を求める問題です。 (3) 自然長 $l_0$ のつるまきばねに質量 $m$ のおもりをつけ、半径 $a$、慣性モーメント $I$ の滑車に通したときの、 (a) ばね定数 $k$ を $m$, $a$, $I$, $l$, $l_0$, $g$ を用いて表す問題です。 (b) おもりと滑車の運動方程式を立てる問題です。 (c) おもりの振動の周期を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は以下の3つのパートに分かれています。

(1) 半径 $a$, 質量 $M$ の一様な半球の $x$ 軸周りの慣性モーメント $I_x$ を求める問題です。

(2) 質量 $M$, 長さ $a$ の一様な棒を、重心から距離 $h$ 離れた位置を固定軸として微小振動させたときの、

(a) 固定軸周りの慣性モーメント $I$ を求める問題です。

(b) 微小振動の周期 $T$ を求め、さらに $T$ を最小にする $h$ とそのときの $T$ を求める問題です。

(3) 自然長 $l_0$ のつるまきばねに質量 $m$ のおもりをつけ、半径 $a$、慣性モーメント $I$ の滑車に通したときの、

(a) ばね定数 $k$ を $m$, $a$, $I$, $l$, $l_0$, $g$ を用いて表す問題です。

(b) おもりと滑車の運動方程式を立てる問題です。

(c) おもりの振動の周期を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 半球の慣性モーメント

半球の慣性モーメントは、積分によって求めることができますが、ここでは省略します。一般的に、半径 $a$, 質量 $M$ の一様な半球の $x$ 軸周りの慣性モーメントは

$I_x = \frac{2}{5}Ma^2$

となります。

(2) 棒の微小振動

(a) 固定軸周りの慣性モーメント

棒の重心を通る軸周りの慣性モーメントは $\frac{1}{12}Ma^2$ であるから、平行軸の定理より、固定軸周りの慣性モーメント $I$ は、

$I = \frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2$

となります。

(b) 微小振動の周期

棒に働くトルク $\tau$ は、$\tau = -Mgh\sin\theta$ であり、微小振動では $\sin\theta \approx \theta$ と近似できるので、

$\tau = -Mgh\theta$

となります。運動方程式は、

$I\frac{d^2\theta}{dt^2} = \tau$

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{Mgh}{I}\theta$

これは単振動の式なので、角振動数 $\omega$ は、

$\omega = \sqrt{\frac{Mgh}{I}} = \sqrt{\frac{Mgh}{\frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2}} = \sqrt{\frac{gh}{\frac{1}{12}a^2 + h^2}}$

したがって、周期 $T$ は、

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{12}a^2 + h^2}{gh}} = 2\pi\sqrt{\frac{a^2}{12gh} + \frac{h}{g}}$

$T$ を最小にする $h$ を求めるために、$T^2$ を $h$ で微分して0となる $h$ を探します。

$\frac{d(T^2)}{dh} = \frac{d}{dh}\left(\frac{4\pi^2}{g}\left(\frac{a^2}{12h} + h\right)\right) = \frac{4\pi^2}{g}\left(-\frac{a^2}{12h^2} + 1\right) = 0$

$\frac{a^2}{12h^2} = 1$

$h^2 = \frac{a^2}{12}$

$h = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}a}{6}$

このときの周期 $T_{min}$ は、

$T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{a^2}{12g(\frac{a}{2\sqrt{3}})} + \frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}\frac{2\sqrt{3}}{12} + \frac{a}{g}\frac{1}{2\sqrt{3}}} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}\left(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6}\right)} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{\sqrt{3}g}}$

(3) つるまきばねとおもり

(a) ばね定数 $k$

つり合いの位置では、ばねの伸びは $l - l_0$ なので、ばねの弾性力は $k(l - l_0)$ です。

おもりには重力 $mg$ が働くので、力のつり合いより、

$k(l - l_0) = mg$

$k = \frac{mg}{l - l_0}$

(b) 運動方程式

おもりの変位を $x$ とすると、ばねの伸びは $l - l_0 + x$ となり、ばねの弾性力は $k(l - l_0 + x)$ となります。

おもりの運動方程式は、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - k(l - l_0 + x) = mg - k(l - l_0) - kx$

ここで、$k(l - l_0) = mg$ なので、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

また、滑車の回転の運動方程式は、

$I\frac{d^2\theta}{dt^2} = a k (l-l_0+x) - a mg= a kx$

ここで、$x = a \theta$ なので、

$I\frac{d^2}{dt^2}(\frac{x}{a}) = a kx$

$\frac{I}{a}\frac{d^2 x}{dt^2} = a k x$

$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{a^2 k}{I} x$

(c) 振動の周期

おもりの運動方程式は、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

なので、

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$

しかし、滑車も回転しているので、

$I\frac{d^2\theta}{dt^2} = T a$

$T a = I \frac{d^2\theta}{dt^2} = I \frac{1}{a} \frac{d^2x}{dt^2}$

おもりに関する運動方程式は

$m \frac{d^2x}{dt^2} = mg - k(l-l_0+x) + T = -kx+T$

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx + \frac{I}{a^2}\frac{d^2x}{dt^2}$

$(m-\frac{I}{a^2})\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m-\frac{I}{a^2}}x = 0$

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{mg}{l-l_0}\frac{1}{m-\frac{I}{a^2}}x = 0$

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m-\frac{I}{a^2}}} = \sqrt{\frac{mg}{(l-l_0)(m-\frac{I}{a^2})}}$

周期は

$T = 2\pi \sqrt{\frac{(l-l_0)(m-\frac{I}{a^2})}{mg}}$

ここで，$k = \frac{mg}{l - l_0}$ なので、

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m - \frac{I}{a^2}}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k} - \frac{I}{a^2k}}$

$k = \frac{mg}{l - l_0}$ を代入して、

$T = 2\pi \sqrt{\frac{(l-l_0)(ma^2 - I)}{mga^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $I_x = \frac{2}{5}Ma^2$

(2) (a) $I = \frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2$

(b) $h = \frac{\sqrt{3}a}{6}$, $T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{\sqrt{3}g}}$

(3) (a) $k = \frac{mg}{l - l_0}$

(b) $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx + \frac{I}{a^2}\frac{d^2x}{dt^2}$

(c) $T = 2\pi \sqrt{\frac{(l-l_0)(ma^2 - I)}{mga^2}}$