与えられたデータ点 $(-3, -2)$, $(-1, -1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$ に対して、最適な直線 $y = mx$ を求めよ。ここで「最適な」とは、最小二乗法によって決定される直線を意味します。

1. 問題の内容

与えられたデータ点 $(-3, -2)$, $(-1, -1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$ に対して、最適な直線 $y = mx$ を求めよ。ここで「最適な」とは、最小二乗法によって決定される直線を意味します。

2. 解き方の手順

最小二乗法を用いて $m$ の値を求めます。

データ点 $(x_i, y_i)$ に対して、$y_i \approx mx_i$ となるような $m$ を求める問題を考えます。

誤差の二乗和 $S$ は、

$S = \sum_{i=1}^{n} (y_i - mx_i)^2$

で与えられます。ここで、$n$ はデータ点の数です。

$S$ を最小にする $m$ を求めるために、$S$ を $m$ で微分して0と置きます。

$\frac{dS}{dm} = \sum_{i=1}^{n} 2(y_i - mx_i)(-x_i) = 0$

$\sum_{i=1}^{n} (-x_iy_i + mx_i^2) = 0$

$\sum_{i=1}^{n} x_iy_i = m \sum_{i=1}^{n} x_i^2$

したがって、$m$ は

$m = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_iy_i}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}$

で与えられます。

与えられたデータ点に対して、

$\sum_{i=1}^{4} x_iy_i = (-3)(-2) + (-1)(-1) + (1)(2) + (2)(3) = 6 + 1 + 2 + 6 = 15$

$\sum_{i=1}^{4} x_i^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 9 + 1 + 1 + 4 = 15$

したがって、

$m = \frac{15}{15} = 1$

3. 最終的な答え

$m = 1$