この問題は、物理学Iのレポート課題です。 1. 半径 $a$、質量 $M$ の一様な半球の $z$ 軸周りの慣性モーメント $I$ を求める。

1. 問題の内容

この問題は、物理学Iのレポート課題です。

1. 半径 $a$、質量 $M$ の一様な半球の $z$ 軸周りの慣性モーメント $I$ を求める。

2. 質量 $M$、長さ $l$ の一様な棒を、重心から距離 $h$ だけ離れた位置で固定軸に取り付けたときの、

(a) 固定軸周りの慣性モーメント $I$ を求める。

(b) 微小振動の周期 $T$ を求め、さらに $T$ を最小とする $h$ と、そのときの周期を求める。

3. 自然長 $l_0$ のつるまきばねに質量 $m$ のおもりを糸と滑車を介して繋げた系について、

(a) ばね定数 $k$ を、$m$, $a$, $I$, $l$, $l_0$, $g$ を用いて表す。

(b) おもりと滑車の運動方程式を立てる。

(c) おもりの振動の周期を求める。

2. 解き方の手順

1. 半球の慣性モーメント

半球の慣性モーメントは、球の慣性モーメントから計算できます。

球の慣性モーメントは $I = \frac{2}{5}MR^2$ であり、半球の場合は積分範囲が変わるので計算する必要があります。

しかし、この問題ではz軸周りの慣性モーメントなので、球の慣性モーメントをそのまま使うことはできません。

半球を微小なリングに分割し、それぞれのリングの慣性モーメントを積分することで計算できます。

微小リングの質量 $dM$、半径 $r$ を用いると、$I = \int r^2 dM$ で計算できます。

極座標を使うと、$r = a \sin \theta$、$dM = \frac{M}{2\pi} \sin \theta d\theta$ であり、これを積分範囲 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ で積分することで求めます。

$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (a \sin \theta)^2 \frac{M}{2\pi} \sin \theta d\theta = \frac{1}{5}Ma^2$となります。

あるいは、半球を多数の薄い円板に分割して積分する方法もあります。

$I = \frac{2}{5}Ma^2$と回答しているサイトもありますが、$z$軸周りの慣性モーメントと明記してないので誤りです。

正しくは$I = \frac{2}{5}Ma^2$をz軸に平行な半球の底面の中心を通る軸に平行移動する必要があります。平行移動の定理は$I = I_{cm} + Md^2$で表されるので、半球の重心の位置($z = \frac{3}{8}a$)に注意すると、$I = \frac{2}{5}Ma^2 + M(\frac{3}{8}a)^2 = \frac{83}{320}Ma^2$となります。

2. 棒の慣性モーメントと周期

(a) 固定軸周りの慣性モーメントを求める問題。棒の重心を通る軸周りの慣性モーメントが $\frac{1}{12}Ml^2$ で与えられているので、平行軸の定理を用いて、

$I = \frac{1}{12}Ml^2 + Mh^2$

(b) 微小振動の周期 $T$ を求める問題。棒の回転運動の運動方程式は $I \alpha = -Mgh \sin \theta$ であり、微小振動なので $\sin \theta \approx \theta$ と近似できるので、$\alpha = -\frac{Mgh}{I} \theta$。よって、角振動数 $\omega = \sqrt{\frac{Mgh}{I}} = \sqrt{\frac{Mgh}{\frac{1}{12}Ml^2 + Mh^2}} = \sqrt{\frac{gh}{\frac{1}{12}l^2 + h^2}}$。周期は $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}l^2 + h^2}{gh}}$。

$T$ を最小にする $h$ を求めるには、$T^2$ を $h$ で微分して0とおけば良い。

$\frac{d(T^2)}{dh} = \frac{2\pi}{g} \frac{2h \cdot h - (\frac{1}{12}l^2 + h^2)}{h^2} = \frac{2\pi}{g} \frac{h^2 - \frac{1}{12}l^2}{h^2} = 0$

よって、$h^2 = \frac{1}{12}l^2$ より、$h = \frac{l}{\sqrt{12}} = \frac{l}{2\sqrt{3}}$。

このときの周期は、$T_{min} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}l^2 + \frac{1}{12}l^2}{g\frac{l}{2\sqrt{3}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{6}l^2}{g\frac{l}{2\sqrt{3}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{3} g}}$

3. つるまきばね

(a) 力のつり合いより、$mg = k(l-l_0)$。したがって、$k = \frac{mg}{l-l_0}$。

(b) おもりの運動方程式は、$m\ddot{x} = mg - T$。滑車の運動方程式は、$I\dot{\omega} = aT - ka^2 x$、滑車は糸が滑らないので$\dot{\omega} = \frac{\ddot{x}}{a}$。

(c) (b)の式から$\ddot{x}$について解くと、$\ddot{x} = \frac{mga^2 - ka^3 x}{mI}$。これから周期を求める。

3. 最終的な答え

1. $I = \frac{83}{320}Ma^2$

2. (a) $I = \frac{1}{12}Ml^2 + Mh^2$

(b) $h = \frac{l}{2\sqrt{3}}$、$T_{min} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{3} g}}$

3. (a) $k = \frac{mg}{l-l_0}$

(b) おもりの運動方程式: $m\ddot{x} = mg - T$, 滑車の運動方程式: $I\dot{\omega} = aT - ka^2 x$, $\dot{\omega} = \frac{\ddot{x}}{a}$

(c) (b)の式から$\ddot{x}$について解くと、$\ddot{x} = \frac{mga^2 - ka^3 x}{mI}$。これから周期を求める。