問題は2つあります。 1つ目の問題は、半径 $a$、質量 $M$ の一様な半球の $x$ 軸周りの慣性モーメント $I_x$ を求めることです。 2つ目の問題は、質量 $M$, 長さ $a$の太さを無視できる一様な棒を考える。棒の重心から距離 $h$ だけ離れた位置に固定軸があるときの慣性モーメントを求めることです。(後半の問題については、この問題文だけでは、何をするべきか不明確です。慣性モーメントを求める、あるいは運動を議論する、などが考えられます。ここでは慣性モーメントを求める問題と解釈します。)

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、半径 $a$、質量 $M$ の一様な半球の $x$ 軸周りの慣性モーメント $I_x$ を求めることです。

2つ目の問題は、質量 $M$, 長さ $a$の太さを無視できる一様な棒を考える。棒の重心から距離 $h$ だけ離れた位置に固定軸があるときの慣性モーメントを求めることです。(後半の問題については、この問題文だけでは、何をするべきか不明確です。慣性モーメントを求める、あるいは運動を議論する、などが考えられます。ここでは慣性モーメントを求める問題と解釈します。)

2. 解き方の手順

**1つ目の問題（半球の慣性モーメント）**

半球の慣性モーメントは、球の慣性モーメントを利用して求めます。半径 $a$、質量 $M$ の一様な球の $x$ 軸周りの慣性モーメント $I_{球x}$ は、$I_{球x} = \frac{2}{5}Ma^2$ で与えられます。半球は球の半分なので、質量も半分になります。ただし、半球の中心は球の中心からずれているため、平行軸の定理を使用する必要があります。

1. まず、質量 $M$ の球の慣性モーメントを求めます。これは既知の値 $\frac{2}{5}Ma^2$ です。

2. 半球の質量は $M/2$ になります。

3. 半球の重心位置は、球の中心から $3a/8$ の位置にあります。

4. 平行軸の定理を用いて、半球の$x$軸周りの慣性モーメントを求めます。半球の中心を通り $x$ 軸に平行な軸に関する慣性モーメントを $I_{半球重心x}$ とすると、

$I_x = I_{半球重心x} + \frac{M}{2} (\frac{3a}{8})^2$

ここで、$I_{半球重心x}$ は球の慣性モーメントの半分と考えることができるので、

$I_{半球重心x} = \frac{1}{2} \frac{2}{5} M a^2 = \frac{1}{5} M a^2$

したがって、

$I_x = \frac{1}{5} M a^2 + \frac{9}{128} M a^2 = (\frac{1}{5} + \frac{9}{128}) M a^2 = (\frac{128+45}{640}) M a^2 = \frac{173}{640} M a^2$

**2つ目の問題（棒の慣性モーメント）**

棒の重心周りの慣性モーメント $I_G$ は、$I_G = \frac{1}{12}Ma^2$で与えられます。

重心から距離 $h$ だけ離れた位置に固定軸がある場合、平行軸の定理を用いて、固定軸周りの慣性モーメント $I$ を計算します。

$I = I_G + Mh^2 = \frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2$

したがって、$I = M (\frac{a^2}{12} + h^2)$

3. 最終的な答え

1つ目の問題の答え：

$I_x = \frac{173}{640} M a^2$

2つ目の問題の答え：

$I = M (\frac{a^2}{12} + h^2)$