与えられた式 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$$

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$$

したがって、

$$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = (4 + \sqrt{15}) - (4 - \sqrt{15}) = 4 + \sqrt{15} - 4 + \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{15}$