自然長 $l_0$ のつるまきばねの一端が床に固定されており、他端に糸がついています。糸は半径 $a$、慣性モーメント $I$ の滑車にかけられており、糸は滑車を滑りません。質量 $m$ のおもりを糸の先に取り付け、おもりを静かに離すと、ばねの長さが $l$ となったところで静止します。つり合いの位置周りのおもりの鉛直方向の振動について考えます。おもりの変位を $x$ (鉛直下向きを正)、滑車の角速度を $\omega$、重力加速度を $g$ とします。 (a) ばね定数 $k$ を $m, a, I, l, l_0, g$ を用いて表してください。 (b) おもりと滑車の運動方程式を書いてください。 (c) おもりの振動の周期を求めてください（最終結果はばね定数 $k$ が残らない形で表してください）。

## 問題3

1. 問題の内容

自然長 $l_0$ のつるまきばねの一端が床に固定されており、他端に糸がついています。糸は半径 $a$、慣性モーメント $I$ の滑車にかけられており、糸は滑車を滑りません。質量 $m$ のおもりを糸の先に取り付け、おもりを静かに離すと、ばねの長さが $l$ となったところで静止します。つり合いの位置周りのおもりの鉛直方向の振動について考えます。おもりの変位を $x$ (鉛直下向きを正)、滑車の角速度を $\omega$、重力加速度を $g$ とします。

(a) ばね定数 $k$ を $m, a, I, l, l_0, g$ を用いて表してください。

(b) おもりと滑車の運動方程式を書いてください。

(c) おもりの振動の周期を求めてください（最終結果はばね定数 $k$ が残らない形で表してください）。

2. 解き方の手順

(a) 力のつり合いより、ばねの伸びによる弾性力と重力が釣り合います。

ばねの伸びは $l - l_0$ なので、弾性力は $k(l - l_0)$ です。

したがって、$k(l - l_0) = mg$ となります。

この式から $k$ を求めます。

(b) おもりの運動方程式は、

$m\ddot{x} = mg - k(l + x - l_0)$

となります。ここで $\ddot{x}$ は $x$ の2階時間微分です。

滑車の運動方程式は、

$I\dot{\omega} = aT$

となります。ここで $\dot{\omega}$ は $\omega$ の時間微分、$T$ は糸の張力です。

糸が滑車を滑らないので、$\dot{x} = a\omega$ となります。つまり、$\ddot{x}=a\dot{\omega}$となります。

おもりの張力 $T$ は、$T=mg-m\ddot{x}$なので、滑車の運動方程式は

$I \frac{\ddot{x}}{a} = a(mg-m\ddot{x})$

となります。

(c) おもりの運動方程式は、$m\ddot{x} = mg - k(l + x - l_0)$でした。

平衡位置では、$mg=k(l-l_0)$だったので、

$m\ddot{x} = -kx$

となります。

これは単振動の運動方程式なので、角振動数 $\omega_0$ は $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ です。

(b)より、$I \frac{\ddot{x}}{a} = a(mg-m\ddot{x})$だったので、$\ddot{x} = g-\frac{a^2m}{I}\ddot{x}$、$(1+\frac{a^2m}{I})\ddot{x}=g-k(l+x-l_0)$、$(I+a^2m)\ddot{x}=-I k x$

したがって、$\ddot{x}=-\frac{kI}{I+a^2m}x$となり、$\omega_0 = \sqrt{\frac{kI}{I+a^2m}}$.

周期は $T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{I+a^2m}{kI}}$

(a)の結果を用いると、$k=\frac{mg}{l-l_0}$なので、

$T=2\pi\sqrt{\frac{I+a^2m}{I}\frac{l-l_0}{mg}}=2\pi \sqrt{(\frac{1}{I}+\frac{a^2}{I})\frac{l-l_0}{g}}$

3. 最終的な答え

(a) $k = \frac{mg}{l - l_0}$

(b) おもり: $m\ddot{x} = mg - k(l + x - l_0)$

滑車: $I \frac{\ddot{x}}{a} = a(mg-m\ddot{x})$

(c) $T = 2\pi \sqrt{\frac{I+a^2m}{I}\frac{l-l_0}{mg}}=2\pi \sqrt{(\frac{1}{I}+\frac{a^2}{I})\frac{l-l_0}{g}}$