## 問題の概要

## 問題の概要

1. **棒の微小振動**: 質量 $M$, 長さ $a$ の一様な棒を、重心から距離 $h$ だけ離れた位置に固定軸を通して微小振動させる。固定軸周りの慣性モーメント $I$、微小振動の周期 $T$、および $T$ を最小とする $h$ とその時の周期を求める問題。

2. **つるまきばねとおもりの振動**: 自然長 $l_0$ のつるまきばねの一端が固定され、他端に糸で質量 $m$ のおもりがつながれた滑車にかけられている。つり合いの位置におけるばね定数 $k$、おもりと滑車の運動方程式、おもりの振動の周期を求める問題。

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1. 棒の微小振動

### (a) 固定軸周りの慣性モーメント $I$ を求める

**解き方の手順:**

1. 平行軸の定理を用いる。重心周りの慣性モーメント $I_G$ は $\frac{1}{12}Ma^2$ である。

2. 固定軸周りの慣性モーメント $I$ は $I = I_G + Mh^2$ で与えられる。

**最終的な答え:**

$I = \frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2$

### (b) 微小振動の周期 $T$ を求め、 $T$ を最小とする $h$ 及びそのときの周期を求める

**解き方の手順:**

1. トルクの式を立てる。トルク $\tau = -Mgh \sin\theta$ であり、微小振動なので $\sin\theta \approx \theta$ と近似できる。

2. 運動方程式 $I\frac{d^2\theta}{dt^2} = \tau$ を立てる。

3. 運動方程式は $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{Mgh}{I}\theta = 0$ となる。

4. $\omega^2 = \frac{Mgh}{I}$ とおくと、周期 $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgh}}$ となる。

5. $I$ を代入すると $T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2}{Mgh}} = 2\pi\sqrt{\frac{a^2}{12gh} + \frac{h}{g}}$ となる。

6. $T$ を最小とする $h$ を求めるために、 $T^2$ を $h$ で微分して 0 とおく。

$\frac{d}{dh}(T^2) = \frac{d}{dh} (\frac{4\pi^2}{g} (\frac{a^2}{12h} + h)) = \frac{4\pi^2}{g} (-\frac{a^2}{12h^2} + 1) = 0$

より、 $h^2 = \frac{a^2}{12}$ つまり $h = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ が得られる。

7. この $h$ を $T$ に代入する。

$T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{a^2}{12g\frac{a}{2\sqrt{3}}} + \frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}(\frac{2\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2\sqrt{3}})} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}(\frac{1}{\sqrt{3}})} = 2\pi\sqrt{\frac{a\sqrt{3}}{3g}}$

**最終的な答え:**

* $T = 2\pi\sqrt{\frac{a^2}{12gh} + \frac{h}{g}}$

* $h = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ のとき $T$ は最小

* $T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{a\sqrt{3}}{3g}}$

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2. つるまきばねとおもりの振動

### (a) つるまきばねのばね定数 $k$ を求める

**解き方の手順:**

1. つり合いの位置で、ばねの弾性力と重力が釣り合っている。

2. ばねの伸びは $l - l_0$ であるから、$k(l - l_0) = mg$

3. よって、$k = \frac{mg}{l - l_0}$

**最終的な答え:**

$k = \frac{mg}{l - l_0}$

### (b) おもりと滑車の運動方程式を立てる

**解き方の手順:**

1. おもりの運動方程式: $m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - k(l - l_0 + x) - T$, ここで $T$ は糸の張力。

2. 滑車の回転運動方程式: $I\frac{d\omega}{dt} = aT$, ここで $I$ は滑車の慣性モーメント、$\omega$ は滑車の角速度。

3. $a\omega = \frac{dx}{dt}$ より $I\frac{d^2\omega}{dt^2} = I\frac{d^2x}{a^2dt^2} = aT$.

4. よって $T = \frac{I}{a^2}\frac{d^2x}{dt^2}$.

5. おもりの運動方程式に代入すると、$m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - k(l - l_0 + x) - \frac{I}{a^2}\frac{d^2x}{dt^2}$.

6. $k(l - l_0) = mg$ であるから、 $(m + \frac{I}{a^2})\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$.

**最終的な答え:**

* おもりの運動方程式: $(m + \frac{I}{a^2})\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$

* 滑車の回転運動方程式: $I\frac{d^2x}{a^2dt^2} = aT$.

### (c) おもりの振動の周期を求める

**解き方の手順:**

1. 運動方程式 $(m + \frac{I}{a^2})\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ を $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ の形にする。

2. $\omega^2 = \frac{k}{m + \frac{I}{a^2}}$

3. 周期 $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m + \frac{I}{a^2}}{k}}$

4. $k = \frac{mg}{l - l_0}$ を代入する。

5. $T=2\pi\sqrt{\frac{m+\frac{I}{a^2}}{\frac{mg}{l-l_0}}} = 2\pi\sqrt{(\frac{m}{mg}+\frac{I}{a^2mg})(l-l_0)}$

6. $T = 2\pi\sqrt{(\frac{1}{g}+\frac{I}{a^2mg})(l-l_0)}$

**最終的な答え:**

$T = 2\pi\sqrt{(\frac{1}{g}+\frac{I}{a^2mg})(l-l_0)}$