実質金利（純利子率）$r = 0.25$ に直面する企業の利潤最大化を考える。企業の異時点間の生産関数が $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ であるとき、最適な設備投資 $I_1$ はいくらになるか。

1. 問題の内容

実質金利（純利子率）$r = 0.25$ に直面する企業の利潤最大化を考える。企業の異時点間の生産関数が $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ であるとき、最適な設備投資 $I_1$ はいくらになるか。

2. 解き方の手順

企業の利潤最大化問題を解く。利潤は、将来の生産物から投資費用を差し引いたものである。将来の価値を現在価値に割り引くために、割引率を使う。利潤 $\pi$ は次のように表される。

$\pi = Y_2 - (1+r)I_1$

$Y_2$ は将来の生産量で、$I_1$ は現在の投資額、$r$ は利子率である。

$Y_2 = 1.5 \ln(I_1+1)$ を代入して、利潤を投資額 $I_1$ の関数として表す。

$\pi = 1.5 \ln(I_1+1) - (1+r)I_1$

利潤を最大化するために、利潤を $I_1$ で微分し、それを0に設定する。

$\frac{d\pi}{dI_1} = \frac{1.5}{I_1+1} - (1+r) = 0$

これを $I_1$ について解く。

$\frac{1.5}{I_1+1} = 1+r$

$I_1+1 = \frac{1.5}{1+r}$

$I_1 = \frac{1.5}{1+r} - 1$

$r=0.25$ を代入する。

$I_1 = \frac{1.5}{1+0.25} - 1$

$I_1 = \frac{1.5}{1.25} - 1$

$I_1 = \frac{1.5}{1.25} - 1 = 1.2 - 1 = 0.2$

3. 最終的な答え

最適な設備投資は0.2である。