質量 $M$、長さ $a$ の太さを無視できる一様な棒があり、棒の重心から距離 $h$ だけ離れた位置に固定軸を通して、棒を鉛直面内で微小振動させる。重力加速度の大きさを $g$ とするとき、以下の問いに答える。 (a) 固定軸周りの慣性モーメント $I$ を求める。ただし、棒に対して垂直で棒の重心を通る軸周りの慣性モーメントが $\frac{1}{12}Ma^2$ であることを用いる。 (b) 微小振動の周期 $T$ を求める。また、$T$ を最小とする $h$ 及び、そのときの周期を求める。固定軸と円板との摩擦などは無視できるものとする。

1. 問題の内容

質量 $M$、長さ $a$ の太さを無視できる一様な棒があり、棒の重心から距離 $h$ だけ離れた位置に固定軸を通して、棒を鉛直面内で微小振動させる。重力加速度の大きさを $g$ とするとき、以下の問いに答える。

(a) 固定軸周りの慣性モーメント $I$ を求める。ただし、棒に対して垂直で棒の重心を通る軸周りの慣性モーメントが $\frac{1}{12}Ma^2$ であることを用いる。

(b) 微小振動の周期 $T$ を求める。また、$T$ を最小とする $h$ 及び、そのときの周期を求める。固定軸と円板との摩擦などは無視できるものとする。

2. 解き方の手順

(a) 固定軸周りの慣性モーメント $I$ を求める。

平行軸の定理より、固定軸周りの慣性モーメント $I$ は、

$I = I_{重心} + Mh^2$

ここで、$I_{重心}$ は重心周りの慣性モーメントであり、問題文より、$I_{重心} = \frac{1}{12}Ma^2$ である。

したがって、

$I = \frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2$

(b) 微小振動の周期 $T$ を求める。

棒が鉛直方向から $\theta$ だけ傾いたとき、重心にかかるトルク $\tau$ は、

$\tau = -Mgh\sin\theta$

微小振動なので、$\sin\theta \approx \theta$ と近似できる。

$\tau = -Mgh\theta$

運動方程式は、

$I\frac{d^2\theta}{dt^2} = \tau$

$(\frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2)\frac{d^2\theta}{dt^2} = -Mgh\theta$

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{Mgh}{\frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2}\theta$

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{gh}{\frac{1}{12}a^2 + h^2}\theta$

ここで、$\omega^2 = \frac{gh}{\frac{1}{12}a^2 + h^2}$ とおくと、

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\omega^2\theta$

この微分方程式の解は、$\theta(t) = A\cos(\omega t + \delta)$ (A, δ: 任意定数) で与えられる。

周期 $T$ は、

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{12}a^2 + h^2}{gh}} = 2\pi\sqrt{\frac{a^2 + 12h^2}{12gh}}$

次に、$T$ を最小とする $h$ を求める。

$\frac{dT}{dh} = 0$ となる $h$ を求める。

$T^2 = \frac{4\pi^2(a^2 + 12h^2)}{12gh}$

$\frac{d(T^2)}{dh} = \frac{4\pi^2}{12g}\frac{24h \cdot h - (a^2 + 12h^2)\cdot 1}{h^2} = \frac{4\pi^2}{12gh^2}(12h^2 - a^2) = 0$

$12h^2 - a^2 = 0$

$h^2 = \frac{a^2}{12}$

$h = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}a}{6}$

このとき、$T$ は最小値をとる。

$h = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ を $T$ に代入すると、

$T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{a^2 + 12(\frac{a^2}{12})}{12g\frac{a}{2\sqrt{3}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{2a^2}{12g\frac{a}{2\sqrt{3}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{2a^2}{6g\frac{a}{\sqrt{3}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{2a^2\sqrt{3}}{6ga}} = 2\pi\sqrt{\frac{a\sqrt{3}}{3g}} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{\sqrt{3}g}}$

$T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{\sqrt{3}a}{3g}} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{\sqrt{3}g}}$

3. 最終的な答え

(a) 固定軸周りの慣性モーメント: $I = \frac{1}{12}Ma^2 + Mh^2$

(b) 周期 $T = 2\pi\sqrt{\frac{a^2 + 12h^2}{12gh}}$

$T$ を最小とする $h = \frac{\sqrt{3}a}{6}$

最小の周期 $T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{\sqrt{3}a}{3g}}$