実質所得 $Y=1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7}c_2^{0.3}$ で与えられているとき、以下の効用最大化問題を解き、$c_1$ を求めます。 $\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)$ subject to (s.t.) $Y = c_1 + s$ $(1 + r)s = c_2$ ただし、$Y=1$ です。

1. 問題の内容

実質所得 $Y=1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7}c_2^{0.3}$ で与えられているとき、以下の効用最大化問題を解き、$c_1$ を求めます。

$\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)$

subject to (s.t.)

$Y = c_1 + s$

$(1 + r)s = c_2$

ただし、$Y=1$ です。

2. 解き方の手順

まず、制約式から $s$ と $c_2$ を $c_1$ で表します。

$Y = c_1 + s$ より、 $s = Y - c_1 = 1 - c_1$

$(1 + r)s = c_2$ より、 $c_2 = (1 + r)(1 - c_1)$

これらを効用関数に代入すると、

$U(c_1) = 100 + 0.9c_1^{0.7}[(1 + r)(1 - c_1)]^{0.3}$

効用を最大化するために、$c_1$ で微分して0とおきます。

$\frac{dU}{dc_1} = 0.9 [0.7c_1^{-0.3}(1+r)^{0.3}(1-c_1)^{0.3} + c_1^{0.7}(0.3)(1+r)^{0.3}(1-c_1)^{-0.7}(-1)] = 0$

$0.7c_1^{-0.3}(1+r)^{0.3}(1-c_1)^{0.3} = 0.3c_1^{0.7}(1+r)^{0.3}(1-c_1)^{-0.7}$

両辺を $(1+r)^{0.3}$ で割って、

$0.7c_1^{-0.3}(1-c_1)^{0.3} = 0.3c_1^{0.7}(1-c_1)^{-0.7}$

$0.7(1-c_1)^{0.3+0.7} = 0.3c_1^{0.7+0.3}$

$0.7(1-c_1) = 0.3c_1$

$0.7 - 0.7c_1 = 0.3c_1$

$0.7 = c_1$

したがって、$c_1=0.7$

3. 最終的な答え

現在の消費 $c_1$ は $0.7$ となります。