自然長 $l_0$ のつるまきばねの一端が床に固定され、他端に糸がついており、糸の先には質量 $m$ のおもりが取り付けられている。糸は半径 $a$、慣性モーメント $I$ の滑車にかかっており、糸は滑車を滑らない。おもりを静かに離したとき、ばねの長さが $l$ となったところでおもりは静止する。つり合いの位置周りのおもりの鉛直方向の振動について、以下の問いに答える。 (a) つるまきばねのばね定数 $k$ を、$m$, $a$, $I$, $l$, $l_0$, $g$ から必要なものを用いて表せ。 (b) おもりと滑車の運動方程式をかけ。 (c) おもりの振動の周期を求めよ。ただし、最終結果はばね定数 $k$ が残らない形で表すこと。

1. 問題の内容

自然長 $l_0$ のつるまきばねの一端が床に固定され、他端に糸がついており、糸の先には質量 $m$ のおもりが取り付けられている。糸は半径 $a$、慣性モーメント $I$ の滑車にかかっており、糸は滑車を滑らない。おもりを静かに離したとき、ばねの長さが $l$ となったところでおもりは静止する。つり合いの位置周りのおもりの鉛直方向の振動について、以下の問いに答える。

(a) つるまきばねのばね定数 $k$ を、$m$, $a$, $I$, $l$, $l_0$, $g$ から必要なものを用いて表せ。

(b) おもりと滑車の運動方程式をかけ。

(c) おもりの振動の周期を求めよ。ただし、最終結果はばね定数 $k$ が残らない形で表すこと。

2. 解き方の手順

(a) 力のつり合いを用いる。

おもりには重力 $mg$ とばねの弾性力 $k(l - l_0)$ が働く。つり合いの位置ではこれらの力が釣り合っているので、

$mg = k(l - l_0)$

したがって、ばね定数 $k$ は、

$k = \frac{mg}{l - l_0}$

(b) おもりと滑車の運動方程式を立てる。

おもりのつり合いの位置からの変位を $x$ (鉛直下向きを正) とすると、おもりに働く力は重力 $mg$ とばねの弾性力 $k(l - l_0 + x)$ である。運動方程式は、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - k(l - l_0 + x)$

$m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - k(l - l_0) - kx$

(a) より、$mg = k(l - l_0)$ だから、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

滑車の回転運動について考える。糸が滑車を引く力は $k(l-l_0 + x) - mg = kx$。トルクは $a(kx)$ なので、回転運動の運動方程式は、

$I\frac{d\omega}{dt} = a(kx)$

ここで、$\omega$ は滑車の角速度であり、$\omega = \frac{v}{a} = \frac{1}{a}\frac{dx}{dt}$ であるから、

$I\frac{d^2x}{dt^2} = a^2kx$

この運動方程式は正しくない。おもりと滑車を一体として考えた運動方程式は

$(m+\frac{I}{a^2})\frac{d^2 x}{dt^2} = -kx$

(c) おもりの振動の周期を求める。

(b) で求めたおもりの運動方程式は、

$(m+\frac{I}{a^2})\frac{d^2 x}{dt^2} = -kx$

これは単振動の運動方程式である。角振動数 $\omega_0$ は、

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m + \frac{I}{a^2}}}$

周期 $T$ は、

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m + \frac{I}{a^2}}{k}}$

(a) で求めた $k = \frac{mg}{l - l_0}$ を代入すると、

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m + \frac{I}{a^2}}{\frac{mg}{l - l_0}}} = 2\pi\sqrt{\frac{(m + \frac{I}{a^2})(l - l_0)}{mg}}$

3. 最終的な答え

(a) $k = \frac{mg}{l - l_0}$

(b) $(m+\frac{I}{a^2})\frac{d^2 x}{dt^2} = -kx$

(c) $T = 2\pi\sqrt{\frac{(m + \frac{I}{a^2})(l - l_0)}{mg}}$