$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ のおおよその値を考えます。

$1^2 = 1$, $2^2 = 4$ より、$1 < \sqrt{3} < 2$ です。

より詳しく、$1.7^2 = 2.89$, $1.8^2 = 3.24$ より、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ です。

したがって、$\sqrt{3} \approx 1.732$ となります。

$2+\sqrt{3}$ の値は、$2 + 1.732 = 3.732$ となります。

したがって、$2+\sqrt{3}$ の整数の部分は $a = 3$ です。

小数の部分は、$b = (2+\sqrt{3}) - a = (2+\sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3}-1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $b = \sqrt{3} - 1$