ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 3a \\ 2a \\ b \end{pmatrix}$ が与えられている。$\mathbf{a}_3$ が $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表されるとき、$b$ の値を求める。

## 問題6の解答

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 3a \\ 2a \\ b \end{pmatrix}$ が与えられている。$\mathbf{a}_3$ が $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表されるとき、$b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\mathbf{a}_3$ が $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表されるとき、あるスカラー $s$ と $t$ が存在して、

$\mathbf{a}_3 = s\mathbf{a}_1 + t\mathbf{a}_2$

と書ける。つまり、

$\begin{pmatrix} 3a \\ 2a \\ b \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s + 2t \\ 2s + t \\ 4s - t \end{pmatrix}$

このベクトル方程式は、以下の連立方程式に対応する。

\begin{align*}

s + 2t &= 3a \\

2s + t &= 2a \\

4s - t &= b

\end{align*}

最初の2つの式から $s$ と $t$ を $a$ で表すことを試みる。

最初の式を2倍し、2番目の式を引くと：

$2(s + 2t) - (2s + t) = 2(3a) - 2a$

$2s + 4t - 2s - t = 6a - 2a$

$3t = 4a$

$t = \frac{4}{3}a$

最初の式から $t = \frac{4}{3}a$ を代入すると：

$s + 2\left(\frac{4}{3}a\right) = 3a$

$s + \frac{8}{3}a = 3a$

$s = 3a - \frac{8}{3}a = \frac{9}{3}a - \frac{8}{3}a = \frac{1}{3}a$

求めた $s$ と $t$ の値を3番目の式に代入すると $b$ が求められる。

$b = 4s - t = 4\left(\frac{1}{3}a\right) - \frac{4}{3}a = \frac{4}{3}a - \frac{4}{3}a = 0$

3. 最終的な答え

$b = 0$