与えられた3次方程式 $x^3 - 2ax^2 + a^2x - \frac{4}{27}a^3 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 2ax^2 + a^2x - \frac{4}{27}a^3 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この方程式は、何らかの式の3乗の形に変形できる可能性があります。具体的には、$(x - \frac{2}{3}a)^3$ の形に変形できないか試してみます。

$(x - \frac{2}{3}a)^3 = x^3 - 3x^2(\frac{2}{3}a) + 3x(\frac{2}{3}a)^2 - (\frac{2}{3}a)^3$

$= x^3 - 2ax^2 + \frac{4}{3}a^2x - \frac{8}{27}a^3$

元の式と比較すると、$x^3$と$-2ax^2$は一致しています。$x$の項は、$a^2x$ と $\frac{4}{3}a^2x$ なので一致しません。

しかし、もし $x = \frac{a}{3} + t$ とおけば、与えられた方程式は以下のように変形できます。

$(\frac{a}{3} + t)^3 - 2a(\frac{a}{3} + t)^2 + a^2(\frac{a}{3} + t) - \frac{4}{27}a^3 = 0$

$(\frac{a^3}{27} + \frac{a^2t}{3} + \frac{at^2}{3} + t^3) - 2a(\frac{a^2}{9} + \frac{2at}{3} + t^2) + a^2(\frac{a}{3} + t) - \frac{4}{27}a^3 = 0$

$\frac{a^3}{27} + \frac{a^2t}{3} + \frac{at^2}{3} + t^3 - \frac{2a^3}{9} - \frac{4a^2t}{3} - 2at^2 + \frac{a^3}{3} + a^2t - \frac{4}{27}a^3 = 0$

$t^3 - \frac{5}{3}at^2 - \frac{4}{9}a^2t + \frac{1}{27}a^3 - \frac{6}{27}a^3 + \frac{9}{27}a^3 - \frac{4}{27}a^3 = 0$

$t^3 - \frac{5}{3}at^2 - \frac{4}{9}a^2t + 0 = 0$

$t(t^2 - \frac{5}{3}at - \frac{4}{9}a^2) = 0$

$t = 0$ または $t^2 - \frac{5}{3}at - \frac{4}{9}a^2 = 0$

$t^2 - \frac{5}{3}at - \frac{4}{9}a^2 = 0$ を解くと、

$t = \frac{\frac{5}{3}a \pm \sqrt{(\frac{5}{3}a)^2 - 4(-\frac{4}{9}a^2)}}{2} = \frac{\frac{5}{3}a \pm \sqrt{\frac{25}{9}a^2 + \frac{16}{9}a^2}}{2}$

$t = \frac{\frac{5}{3}a \pm \sqrt{\frac{41}{9}a^2}}{2} = \frac{\frac{5}{3}a \pm \frac{\sqrt{41}}{3}a}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{6}a$

$x = \frac{a}{3} + t$ なので、

$x_1 = \frac{a}{3}$

$x_2 = \frac{a}{3} + \frac{5 + \sqrt{41}}{6}a = \frac{2a + 5a + \sqrt{41}a}{6} = \frac{7 + \sqrt{41}}{6}a$

$x_3 = \frac{a}{3} + \frac{5 - \sqrt{41}}{6}a = \frac{2a + 5a - \sqrt{41}a}{6} = \frac{7 - \sqrt{41}}{6}a$

3. 最終的な答え

$x = \frac{a}{3}, \frac{7 + \sqrt{41}}{6}a, \frac{7 - \sqrt{41}}{6}a$