4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ が正の解を何個持つかを求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ が正の解を何個持つかを求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$ とおきます。

この関数の正の解の個数を調べるために、$f(x)$ の微分を計算し、増減を調べます。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1, 0, 2$ のときです。

$x > 0$ の範囲で $f'(x)$ の符号を調べます。

* $0 < x < 2$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

* $x > 2$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

したがって、$x=2$ で極小値をとります。

極小値 $f(2) = 3(2^4) - 4(2^3) - 12(2^2) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27$

また、$f(0) = 5$ です。

$x$ が非常に大きいとき、$f(x)$ は正の値を取ります。

$f(0) = 5 > 0$ であり、$0 < x < 2$ では減少して、$f(2) = -27 < 0$ となり、$x > 2$ では増加することから、

$0 < x < 2$ の範囲に少なくとも1つの正の解が存在し、$x > 2$ の範囲に少なくとも1つの正の解が存在します。

$f(x)$は４次関数なので、正の解は多くとも２つしか存在しません。

したがって、正の解はちょうど2個です。

3. 最終的な答え

2個