3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を変形して、

$2x^3 - 3x^2 - 12x = a$

左辺を $f(x)$ とおくと、$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ となる。この関数のグラフを描いて、$y = a$ との交点が3つになるような $a$ の範囲を求める。

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 2$ または $x = -1$ のときである。

次に、$f(x)$ の増減表を作成する。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$

$f(x) = a$ が異なる3つの実数解をもつためには、極大値と極小値の間に $a$ が存在する必要がある。

したがって、$-20 < a < 7$

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$