2桁の自然数のうち、5で割ると3余る数の和を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の自然数のうち、5で割ると3余る数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2桁の自然数で5で割ると3余る数をすべて求めます。

最小の数は $10$ 以上で5で割ると3余る数なので $5 \times 1 + 3 = 8$ は1桁なので、$5 \times 2 + 3 = 13$です。

最大の数は $99$ 以下で5で割ると3余る数なので、$5 \times 19 + 3 = 98$です。

したがって、求める数は

$13, 18, 23, \dots, 98$

となります。

これは初項 $13$、末項 $98$、公差 $5$ の等差数列です。

項数を求めます。$n$ を項数とすると

$13 + (n - 1) \times 5 = 98$

$5(n - 1) = 85$

$n - 1 = 17$

$n = 18$

したがって、項数は $18$ です。

等差数列の和の公式を用いて和を計算します。

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

ここで、$n = 18$, $a_1 = 13$, $a_n = 98$ です。

$S = \frac{18(13 + 98)}{2} = \frac{18 \times 111}{2} = 9 \times 111 = 999$

3. 最終的な答え

999