$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(k-1)(k+2)$を展開します。

$(k-1)(k+2) = k^2 + 2k - k - 2 = k^2 + k - 2$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2)$

シグマの性質を使って、以下のように分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2$

ここで、以下の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n$

通分して整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 12n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 12]}{6}$

$= \frac{n[(2n^2 + 3n + 1) + (3n + 3) - 12]}{6}$

$= \frac{n(2n^2 + 6n - 8)}{6}$

$= \frac{2n(n^2 + 3n - 4)}{6}$

$= \frac{n(n^2 + 3n - 4)}{3}$

$= \frac{n(n+4)(n-1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n+4)}{3}$