関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(g \circ f)(x)$ を求める:

$g(f(x))$ を計算します。つまり、$g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$g(f(x)) = g\left(\frac{2x+1}{x-1}\right) = \frac{\frac{2x+1}{x-1} + 1}{\frac{2x+1}{x-1} - 2}$

分母と分子に $(x-1)$ を掛けて整理します。

$g(f(x)) = \frac{(2x+1) + (x-1)}{(2x+1) - 2(x-1)} = \frac{3x}{2x+1 - 2x + 2} = \frac{3x}{3} = x$

したがって、

$g(f(x)) = x$

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める:

$f(g(x))$ を計算します。つまり、$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

$f(g(x)) = f\left(\frac{x+1}{x-2}\right) = \frac{2\left(\frac{x+1}{x-2}\right) + 1}{\frac{x+1}{x-2} - 1}$

分母と分子に $(x-2)$ を掛けて整理します。

$f(g(x)) = \frac{2(x+1) + (x-2)}{(x+1) - (x-2)} = \frac{2x+2 + x - 2}{x+1 - x + 2} = \frac{3x}{3} = x$

したがって、

$f(g(x)) = x$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = x$

$(f \circ g)(x) = x$