問題は、次の和を求めることです。 $$\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k$$

1. 問題の内容

問題は、次の和を求めることです。

$$\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k$$

2. 解き方の手順

この和は等比数列の和です。等比数列の和の公式を使用します。

等比数列の和の公式は次のとおりです。

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

ここで、$S_n$ は最初の $n$ 項の和、$a$ は最初の項、$r$ は公比です。

この問題では、$a = -\frac{1}{3}$ であり、$r = -\frac{1}{3}$ です。したがって、

$$S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}$$

$$S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 + \frac{1}{3}}$$

$$S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{4}{3}}$$

$$S_n = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)$$

$$S_n = -\frac{1}{4} \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)$$

$$S_n = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{3}\right)^n$$

$$S_n = -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}$$

3. 最終的な答え

$$-\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}$$