関数 $f(x) = \frac{ax - 4}{x + 3}$ と $g(x) = \frac{3x + 4}{bx + 2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax - 4}{x + 3}$ と $g(x) = \frac{3x + 4}{bx + 2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $(g \circ f)(x)$ を計算します。

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) = \frac{3\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) + 4}{b\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) + 2}$

分子と分母に $(x + 3)$ を掛けて整理します。

$(g \circ f)(x) = \frac{3(ax - 4) + 4(x + 3)}{b(ax - 4) + 2(x + 3)} = \frac{3ax - 12 + 4x + 12}{abx - 4b + 2x + 6} = \frac{(3a + 4)x}{(ab + 2)x + (6 - 4b)}$

条件 $(g \circ f)(x) = x$ より、

$\frac{(3a + 4)x}{(ab + 2)x + (6 - 4b)} = x$

両辺に $(ab + 2)x + (6 - 4b)$ を掛けて、

$(3a + 4)x = x((ab + 2)x + (6 - 4b))$

$(3a + 4)x = (ab + 2)x^2 + (6 - 4b)x$

この等式が任意の $x$ について成り立つためには、$x^2$ の係数が 0 であり、 $x$ の係数が等しくなければなりません。つまり、

$ab + 2 = 0$

$3a + 4 = 6 - 4b$

一つ目の式から、$ab = -2$。二つ目の式から、$3a + 4b = 2$。

$b = -\frac{2}{a}$ を二つ目の式に代入すると、

$3a + 4\left(-\frac{2}{a}\right) = 2$

$3a - \frac{8}{a} = 2$

両辺に $a$ を掛けて整理すると、

$3a^2 - 8 = 2a$

$3a^2 - 2a - 8 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(3a + 4)(a - 2) = 0$

よって、$a = 2$ または $a = -\frac{4}{3}$。

ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ なので、$a = 2$。

$a = 2$ を $ab = -2$ に代入すると、$2b = -2$ より $b = -1$。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$