$f(x) = ax + b$、$g(x) = x + c$ という2つの一次関数が与えられており、合成関数 $(f \circ g)(x) = 2x + 3$、$(g \circ f)(x) = 2x + 1$ であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = ax + b$、$g(x) = x + c$ という2つの一次関数が与えられており、合成関数 $(f \circ g)(x) = 2x + 3$、$(g \circ f)(x) = 2x + 1$ であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の定義に従って、$(f \circ g)(x)$ と $(g \circ f)(x)$ を計算します。

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+c) = a(x+c) + b = ax + ac + b$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(ax+b) = (ax+b) + c = ax + b + c$

与えられた条件から、以下の2つの式が得られます。

$ax + ac + b = 2x + 3$

$ax + b + c = 2x + 1$

これらの式が任意の $x$ について成り立つためには、各項の係数が等しくなければなりません。

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$a = 2$

$ac + b = 3$

$b + c = 1$

$a = 2$ を $ac + b = 3$ に代入すると、$2c + b = 3$ となります。

ここで、$b+c = 1$ と $2c + b = 3$ の連立方程式を解きます。

$2c + b = 3$ から $b+c = 1$ を引くと、$c = 2$ となります。

$c = 2$ を $b + c = 1$ に代入すると、$b + 2 = 1$ より $b = -1$ となります。

したがって、$a = 2, b = -1, c = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$, $c = 2$