与えられた4つのベクトル $a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{R}^4$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) 1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求めます。 (2) 1次独立な $r$ 個のベクトルを前から順に求めます。 (3) (2) で求めたベクトル以外のベクトルを、(2) で求めたベクトルの1次結合で表します。 ここで与えられたベクトルは、 $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \\ 1 \\ -13 \end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 13 \\ 18 \end{pmatrix}, a_4 = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -13 \\ -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4つのベクトル $a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{R}^4$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) 1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求めます。

(2) 1次独立な $r$ 個のベクトルを前から順に求めます。

(3) (2) で求めたベクトル以外のベクトルを、(2) で求めたベクトルの1次結合で表します。

ここで与えられたベクトルは、

$a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \\ 1 \\ -13 \end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 13 \\ 18 \end{pmatrix}, a_4 = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -13 \\ -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 1次独立なベクトルの最大個数を求めるために、これらのベクトルを並べて行列を作り、行基本変形を行って簡約化します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -2 \\ 4 & -9 & 10 & -5 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$

まず、1行目を基準に2,3,4行目を0にします。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 5 & 7 & -9 \\ 0 & 3 & -6 & 15 \end{pmatrix}$

次に、2行目を基準に3,4行目を0にします。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & -12 & 24 \end{pmatrix}$

最後に、3行目を基準に4行目を0にします。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は、0でない行が3つあるので、1次独立なベクトルの最大個数は3です。したがって、$r=3$となります。

(2) 前から順に1次独立なベクトルを求めます。

$a_1$ は明らかにゼロベクトルではないので1次独立です。

$a_2$ が $a_1$ の定数倍でないことは明らかです。したがって、$a_1$ と $a_2$ は1次独立です。

$a_3$ が $a_1$ と $a_2$ の1次結合で表せるかどうかを調べます。もし

$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$

であれば、

$\begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 13 \\ 18 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \\ 1 \\ -13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 - 2c_2 \\ 4c_1 - 9c_2 \\ 2c_1 + c_2 \\ 8c_1 - 13c_2 \end{pmatrix}$

これを解くと、$c_1 = 1, c_2 = -1$ となり、 $2c_1 + c_2 = 2(1) + (-1) = 1 \ne 13$ であるから $a_3$ は $a_1$ と $a_2$ の1次結合で表せません。

したがって、$a_1, a_2, a_3$ は1次独立です。

(3) $a_4$ を $a_1, a_2, a_3$ の1次結合で表します。

$a_4 = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3$

$\begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -13 \\ -1 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \\ 1 \\ -13 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 13 \\ 18 \end{pmatrix}$

この連立方程式を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & -9 & 10 \\ 2 & 1 & 13 \\ 8 & -13 & 18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -13 \\ -1 \end{pmatrix}$

簡約化された行列から、

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$-3c_3 = 6$ より $c_3 = -2$

$-c_2 -2c_3 = 3$ より $-c_2 -2(-2) = 3$ よって $c_2 = 1$

$c_1 -2c_2 + 3c_3 = -2$ より $c_1 -2(1) + 3(-2) = -2$ よって $c_1 = 6$

$a_4 = 6a_1 + a_2 -2a_3$

3. 最終的な答え

(1) $r = 3$

(2) $a_1, a_2, a_3$

(3) $a_4 = 6a_1 + a_2 -2a_3$